AMC 10 · 2020 · #22
학년 8 number-theory문제
What is the remainder when 2202+202 is divided by 2101+251+1?
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AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 거대한 수 $2^{202} + 202$ 를 $2^{101} + 2^{51} + 1$ 로 나눈 나머지는?
주어진 것: 피제수: $2^{202} + 202$; 제수: $N = 2^{101} + 2^{51} + 1$; 선택지: (A) $100$, (B) $101$, (C) $200$, (D) $201$, (E) $202$
구하는 것: $0 \le r < N$ 인 나머지 $r$, $2^{202} + 202 \equiv r \pmod{N}$
이해
문제 재정리: 거대한 수 $2^{202} + 202$ 를 $2^{101} + 2^{51} + 1$ 로 나눈 나머지는?
주어진 것: 피제수: $2^{202} + 202$; 제수: $N = 2^{101} + 2^{51} + 1$; 선택지: (A) $100$, (B) $101$, (C) $200$, (D) $201$, (E) $202$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기
도구 #9(더 쉬운 문제): $2^{50}$ 을 변수 $x$ 로 치환. 제수는 $2x^2 + 2x + 1$, 피제수는 $4x^4 + 202$ — 훨씬 다루기 쉬움. 도구 #5(패턴): Sophie Germain 류 항등식 $4x^4 + 1 = (2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$ 포착. 도구 #7(쪼개기): $2^{202} + 202 = (2^{202} + 1) + 201$ 로 나누고 첫 조각은 항등식으로 처리. 도구 #13(대수): 항등식이 엔진. 도구 #3(가능성 지우기): $202 = 1 + 201$ 의 분리가 선택지 (D) 와 직접 매치.
실행 — 정답: D
8.EE.A.1 단계 1 - $x = 2^{50}$ 치환.
- $2^{100} = x^2, 2^{101} = 2x^2, 2^{51} = 2x, 2^{202} = 4x^4$.
- 따라서 제수 $N = 2x^2 + 2x + 1$, 피제수 $2^{202} + 202 = 4x^4 + 202$.
💡 거대한 $2^{50}$ 을 한 글자로 — 같은 문제, 보기 좋은 식.
8.EE.A.2 단계 2 Sophie Germain 항등식 ($4x^4 + 1$ 에 차의 제곱 응용): $$4x^4 + 1 \;=\; (2x^2)^2 + 2 \cdot 2x^2 \cdot 1 + 1 \;-\; (2x)^2 \;=\; (2x^2 + 1)^2 - (2x)^2.$$ 차의 제곱 인수분해: $$4x^4 + 1 \;=\; (2x^2 + 1 + 2x)(2x^2 + 1 - 2x) \;=\; (2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1).$$
💡 완전제곱 만들기: $(2x^2 + 1)^2 - (2x)^2$, 차의 제곱으로 분해.
6.EE.A.3 단계 3 따라서 $4x^4 + 1 = N \cdot (2x^2 - 2x + 1)$ — $N$ 으로 정확히 나누어 떨어지고 몫이 $2x^2 - 2x + 1$, 나머지 $0$.
💡 Sophie Germain 분해 — $N$ 이 $4x^4 + 1$ 의 약수.
6.NS.B.4 단계 4 - 피제수 분리: $4x^4 + 202 = (4x^4 + 1) + 201$.
- 첫 조각은 $N$ 의 배수이므로 $$4x^4 + 202 \;\equiv\; 0 + 201 \;\equiv\; 201 \pmod{N}.$$
💡 $N$ 의 배수를 떼어내면 남는 건 $201$.
6.NS.C.7 단계 5 - $201$ 이 정상 나머지인지 점검: $N = 2^{101} + 2^{51} + 1 > 2^{101} \approx 2.5 \times 10^{30}$.
- $201 \ll N$ 이라 $201$ 이 그대로 나머지.
- 답 $(D)$.
💡 $201$ 은 $N$ 보다 한참 작아 곧바로 나머지.
8.EE.A.1 $x = 2^{50}$ 치환. $2^{100} = x^2, 2^{101} = 2x^2, 2^{51} = 2x, 2^{202} = 4x^4$. 따 8.EE.A.2 Sophie Germain 항등식 ($4x^4 + 1$ 에 차의 제곱 응용):
$$4x^4 + 1 \;=\; (2x^2)^2 + 2 \cdot 6.EE.A.3 따라서 $4x^4 + 1 = N \cdot (2x^2 - 2x + 1)$ — $N$ 으로 정확히 나누어 떨어지고 몫이 $2x^2 - 2x + 1 6.NS.B.4 피제수 분리: $4x^4 + 202 = (4x^4 + 1) + 201$. 첫 조각은 $N$ 의 배수이므로
$$4x^4 + 202 \;\equiv 6.NS.C.7 $201$ 이 정상 나머지인지 점검: $N = 2^{101} + 2^{51} + 1 > 2^{101} \approx 2.5 \times 10^{ 검토
합리성 확인: 분리 $202 = 1 + 201$ 이 결정적 — $2^{202} + 100$ 이면 답이 $99$, $+202$ 이면 $201$. 작은 사례 확인: $x = 2$ 일 때 $4x^4 + 1 = 65 = 13 \cdot 5 = (2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$ ✓. 큰 사례도 같은 항등식, $x = 2^{50}$ 일 뿐.
대안 접근: 도구 #13(대수) — $4x^4 + 202 \div (2x^2 + 2x + 1)$ 다항식 나눗셈: 몫 $2x^2 - 2x + 1$, 나머지 $202 - 1 = 201$. 같은 답, 계산 조금 더.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.NS.B.4두 수의 최대공약수·최소공배수 구하기 (한 조각이 $N$ 의 배수임을 인식해 작은 나머지만 남기기.)6.NS.C.7유리수의 순서·절댓값 이해 ($0 \le 201 < N$ 임을 확인 — $201$ 이 표준 비음수 나머지.)6.EE.A.3동치식 만들기 (연산의 성질) ($4x^4 + 202 = (4x^4 + 1) + 201$ 재표현, 분할 후 나누기.)8.EE.A.1정수 지수의 성질 ($x = 2^{50}$ 치환으로 $2^{101} = 2x^2, 2^{51} = 2x, 2^{202} = 4x^4$.)8.EE.A.2제곱근·세제곱근 기호로 해 표현 (완전제곱 $(2x^2 + 1)^2 - (2x)^2$ 만들고 차의 제곱으로 인수분해.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년의 "차의 제곱" 인수분해만 알면 풀려요 — $x = 2^{50}$ 치환으로 거대 지수를 작은 다항식 $4x^4 + 1 = (2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$ 로 줄이면, $2^{202} + 202 = (2^{202} + 1) + 201$ 에서 나머지 $201$ 이 바로 보입니다.
⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년의 "차의 제곱" 인수분해만 알면 풀려요 — $x = 2^{50}$ 치환으로 거대 지수를 작은 다항식 $4x^4 + 1 = (2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$ 로 줄이면, $2^{202} + 202 = (2^{202} + 1) + 201$ 에서 나머지 $201$ 이 바로 보입니다.
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