AMC 10 · 2020 · #6

학년 4 rate-ratio

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

place-valuepattern-recognitionrate pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: place-valuerate

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Driving along a highway, Megan noticed that her odometer showed $15951$ (miles). This number is a palindrome-it reads the same forward and backward. Then $2$ hours later, the odometer displayed the next higher palindrome. What was her average speed, in miles per hour, during this $2$ -hour period?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Megan의 주행기록계가 $15951$ 을 가리키고 있는데, 이는 회문수다. $2$ 시간 운전 후 다음 회문수가 표시되었다. 이 $2$ 시간 동안의 평균 속도(마일/시)를 구하시오.

주어진 것: 처음 기록계 값은 $15951$ (5자리 회문수); 경과 시간은 $2$ 시간; 끝 기록계 값은 $15951$ 다음 회문수; 선택지: (A) $50$, (B) $55$, (C) $60$, (D) $65$, (E) $70$

구하는 것: $2$ 시간 동안의 평균 속도 (마일/시)

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

5자리 회문수는 $\overline{abcba}$ 꼴 — 앞 세 자리가 정해지면 뒤 두 자리는 자동으로 정해진다. 도구 #5 로 회문 구조를 읽어 가장 작게 키울 자리를 찾는다. 도구 #7 은 문제를 (1) 다음 회문수 찾기, (2) $2$ 로 나누기 두 단계로 깔끔히 분리. 도구 #3 으로 답을 보기와 대조.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 4.NBT.A.2 단계 1

처음 값을 $\overline{abcba}$ 로 쓰면 $a = 1, b = 5, c = 9$.
다음 회문수를 만들려면 가운데 자리 $c$ 를 $1$ 만 올리면 — 가장 적게 키울 수 있다.

$$15951 = \overline{1\,5\,9\,5\,1}$$

💡 회문수에서 가장 적게 키울 수 있는 자리는 가운데 자리.

#5 패턴 찾기 4.NBT.A.2 단계 2

그런데 $c = 9$ 라 한 자리 올리면 받아올림이 생긴다.
천의 자리 $5$ 가 $6$ 이 되고, 가운데는 $0$ 으로 떨어지며, 회문 구조가 백의 자리 $0$, 일의 자리는 만의 자리와 같은 $1$ 을 강제한다.

$$\overline{1\,5\,9\,5\,1} \xrightarrow{\text{받아올림}} \overline{1\,6\,0\,6\,1} = 16061$$

💡 자릿수가 이미 $9$ 면 올림이 연쇄로 일어남 — 주행기록계 넘어가는 느낌.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 3

뺄셈으로 운전 거리를 구한다.

$$16061 - 15951 = 110 \text{ 마일}$$

💡 거리는 끝 기록 빼기 처음 기록.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 4

거리를 시간으로 나누어 평균 속도를 얻는다.

$$\dfrac{110 \text{ 마일}}{2 \text{ 시간}} = 55 \text{ mph}$$

💡 속도는 단위 시간당 거리 — 나눗셈.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 5

$55$ 는 (B).
다른 선택지 ($50, 60, 65, 70$) 는 거리 $100, 120, 130, 140$ 에 대응하는데 — $15951$ 에서 그만큼 더한 값 중 회문수는 없다.

$$55 \Rightarrow \textbf{(B)}$$

💡 계산한 속도를 보기와 매칭.

[1] #5 4.NBT.A.2 처음 값을 $\overline{abcba}$ 로 쓰면 $a = 1, b = 5, c = 9$. 다음 회문수를 만들려면 가운데 자리 $c$ 를 $

[2] #5 4.NBT.A.2 그런데 $c = 9$ 라 한 자리 올리면 받아올림이 생긴다. 천의 자리 $5$ 가 $6$ 이 되고, 가운데는 $0$ 으로 떨어지며, 회문 구조가

[3] #7 4.NBT.B.4 뺄셈으로 운전 거리를 구한다.

[4] #7 3.OA.A.3 거리를 시간으로 나누어 평균 속도를 얻는다.

[5] #3 4.NBT.A.2 $55$ 는 (B). 다른 선택지 ($50, 60, 65, 70$) 는 거리 $100, 120, 130, 140$ 에 대응하는데 — $15951

검토

합리성 확인: $16061$ 이 정말 회문수인지 확인 — 거꾸로 읽어도 $1, 6, 0, 6, 1$ 로 같다. 또 $15951$ 과 $16061$ 사이에 더 작은 회문수가 없음도 확인: $15\_\_\_$ 로 시작하는 회문수는 끝이 $51$ 이어야 하고 가운데 자리가 $9$ 이상이어야 하는데 $9$ 가 이미 최대라 불가능. 따라서 $16061$ 이 진짜 다음 회문수, 거리 $= 110$, 속도 $= 55$ mph. ✓

대안 접근: 도구 #3 (가능성 지우기) 단독: 각 보기 속도에 $2$ 를 곱해 거리 후보 $100, 110, 120, 130, 140$ 을 얻고 $15951$ 에 더하면 끝값 후보 $16051, 16061, 16071, 16081, 16091$. 이 중 회문수는 $16061$ 뿐 — 바로 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 ($15951$ 을 $\overline{1\,5\,9\,5\,1}$ 로 자릿값별로 보고, $16061$ 의 자릿수로 회문수 여부와 보기를 매칭.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 ($16061 - 15951 = 110$ 으로 운전 거리 계산.)
3.OA.A.3 $100$ 이내 곱셈·나눗셈 응용 문제 풀기 (거리 $110$ 마일을 시간 $2$ 시간으로 나누어 평균 속도 $55$ mph 도출.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 자릿값만 알면 풀 수 있어요 — $15951$ 의 가운데 $9$ 를 올리면 받아올림이 연쇄해 $16061$ 이 다음 회문수. $110$ 마일을 $2$ 시간에 달렸으니 속도는 $55$ mph.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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