AMC 10 · 2021 · #10

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

difference-of-squaresexponentspattern-recognitiontelescoping-sum pattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: difference-of-squares

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Which of the following is equivalent to
$(2+3)(2^2+3^2)(2^4+3^4)(2^8+3^8)(2^{16}+3^{16})(2^{32}+3^{32})(2^{64}+3^{64})?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~3^{127} + 2^{127}$

(B)

$~3^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63} + 3 \cdot 2^{63}$

(C)

$~3^{128}-2^{128}$

(D)

$~3^{128} + 2^{128}$

(E)

$~5^{127}$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 긴 곱 $(2 + 3)(2^2 + 3^2)(2^4 + 3^4)(2^8 + 3^8)(2^{16} + 3^{16})(2^{32} + 3^{32})(2^{64} + 3^{64})$ 을 정리하세요. 지수는 $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$ — 차례로 $2$ 의 거듭제곱입니다. 결과를 다섯 보기 중 하나와 같은 깔끔한 형태로 쓰세요.

주어진 것: $P = (2 + 3)(2^2 + 3^2)(2^4 + 3^4)(2^8 + 3^8)(2^{16} + 3^{16})(2^{32} + 3^{32})(2^{64} + 3^{64})$; 총 $7$ 개의 인수; $k$ 번째 인수는 $(2^{2^{k-1}} + 3^{2^{k-1}})$; 선택지: (A) $3^{127} + 2^{127}$, (B) $3^{127} + 2^{127} + 2 \cdot 3^{63} + 3 \cdot 2^{63}$, (C) $3^{128} - 2^{128}$, (D) $3^{128} + 2^{128}$, (E) $5^{127}$

구하는 것: $P$ 의 단순화된 닫힌 형태

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 인수 $2$ 개, $3$ 개짜리 짧은 곱부터 시도. 도구 #5(패턴 찾기)로 매 단계 지수가 두 배가 되는 규칙을 발견. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 엔진 — $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. 도구 #3(가능성 지우기)으로 지수가 틀린 보기와 부호가 틀린 보기를 차례로 탈락.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.3 단계 1

인수 $2$ 개짜리 쉬운 버전부터.
앞에 $(3 - 2) = 1$ 을 슬쩍 끼움: $(3 - 2)(3 + 2)(3^2 + 2^2)$.
제곱의 차를 한 번: $(3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2)$.
또 한 번: $3^4 - 2^4$.

$$(3 + 2)(3^2 + 2^2) = (3 - 2)(3 + 2)(3^2 + 2^2) = (3^2 - 2^2)(3^2 + 2^2) = 3^4 - 2^4$$

💡 인수 두 개면 $3^4 - 2^4$ — 지수가 $1 \to 2 \to 4$ 로 두 번 두 배.

#5 패턴 찾기 5.OA.B.3 단계 2

패턴 발견.
인수 $n$ 개를 정리하면 결과는 $3^{2^n} - 2^{2^n}$.
$n = 3$ 인수로 검증: $(3 + 2)(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4) \to 3^8 - 2^8$.

$n$ 인수 $\to\;3^{2^n} - 2^{2^n}$ (앞에 $(3-2) = 1$ 을 끼운 뒤)

💡 제곱의 차를 한 번 쓸 때마다 지수가 두 배 — $1 \to 2 \to 4 \to 8 \to \ldots$

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.1 단계 3

원래 $n = 7$ 인수 곱에 적용.
$(3 - 2) = 1$ 을 앞에 끼우고, 제곱의 차를 차례로 적용하며 지수를 두 배씩 키움:

$$(3-2)(3+2) = 3^2 - 2^2 \to 3^4 - 2^4 \to 3^8 - 2^8 \to 3^{16} - 2^{16} \to 3^{32} - 2^{32} \to 3^{64} - 2^{64} \to 3^{128} - 2^{128}$$

💡 한 번 합칠 때마다 지수 두 배: $1 \to 2 \to 4 \to 8 \to 16 \to 32 \to 64 \to 128$. 일곱 번 두 배로 $2^7 = 128$ 도달.

#5 패턴 찾기 8.EE.A.1 단계 4

개수 확인 — 원래 $7$ 인수에 $(3-2)$ 를 앞에 두면 총 $8$ 인수.
제곱의 차 한 번이 인수를 하나씩 소모하면서 지수를 두 배.
$7$ 번 소모(남은 인수는 자연스럽게 합쳐짐) 후 $3^{2^7} - 2^{2^7} = 3^{128} - 2^{128}$.

$1\!\to\!2\!\to\!4\!\to\!8\!\to\!16\!\to\!32\!\to\!64\!\to\!128$ (일곱 번)

💡 원래 인수 $7$ 개 $\to$ 지수 $1$ 에서 두 배를 $7$ 번 $\to$ $2^7 = 128$.

#3 가능성 지우기 8.EE.A.1 단계 5

다섯 보기와 대조.
(A) $3^{127} + 2^{127}$: 지수와 부호 모두 틀림.
(B) 잡항 추가 — 틀림.
(C) $3^{128} - 2^{128}$: 일치.
(D) $3^{128} + 2^{128}$: 부호 틀림 — 항상 차가 나옴.
(E) $5^{127}$: 첫 인수만 $3 + 2 = 5$ 이고 나머지는 $5$ 의 거듭제곱이 아님 — 잘못된 함정.

$$3^{128} - 2^{128}\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 제곱의 차 사슬은 항상 $a^n - b^n$ (차)을 만듦 — 합 형태 보기는 모두 제외.

[1] #9 6.EE.A.3 인수 $2$ 개짜리 쉬운 버전부터. 앞에 $(3 - 2) = 1$ 을 슬쩍 끼움: $(3 - 2)(3 + 2)(3^2 + 2^2)$. 제곱의 차

[2] #5 5.OA.B.3 패턴 발견. 인수 $n$ 개를 정리하면 결과는 $3^{2^n} - 2^{2^n}$. $n = 3$ 인수로 검증: $(3 + 2)(3^2 + 2^

[3] #13 8.EE.A.1 원래 $n = 7$ 인수 곱에 적용. $(3 - 2) = 1$ 을 앞에 끼우고, 제곱의 차를 차례로 적용하며 지수를 두 배씩 키움:

[4] #5 8.EE.A.1 개수 확인 — 원래 $7$ 인수에 $(3-2)$ 를 앞에 두면 총 $8$ 인수. 제곱의 차 한 번이 인수를 하나씩 소모하면서 지수를 두 배. $

[5] #3 8.EE.A.1 다섯 보기와 대조. (A) $3^{127} + 2^{127}$: 지수와 부호 모두 틀림. (B) 잡항 추가 — 틀림. (C) $3^{128} -

검토

합리성 확인: 두 갈래 검산. 첫째: 지수 추적. 인수 $7$ 개의 지수 합 $1+2+4+\ldots+64 = 127$ 이 (A) 의 함정이지만, 정답 규칙은 합이 아니라 가장 큰 지수의 두 배 — $128$ 이라 (C). 둘째: 부호. 제곱의 차 사슬은 항상 차를 만들기 때문에 합 형태 (D) 는 불가. (E) 는 $(3^2 + 2^2) = 13 \ne 5^2 = 25$ 라 거짓.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 공식 그대로 사용: $n$ 이 $2$ 의 거듭제곱일 때 $a^n - b^n = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) \cdots (a^{n/2} + b^{n/2})$. $n = 128$ 로 우변이 정확히 $(3 - 2) \times$ 주어진 곱. 따라서 곱은 $(3^{128} - 2^{128}) / (3 - 2) = 3^{128} - 2^{128}$. 공식을 외우고 있으면 더 빠름.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용하기 (반복 제곱으로 지수 추적: $1 \to 2 \to 4 \to \ldots \to 128$ — $(a^k)^2 = a^{2k}$ 사용.)
6.EE.A.3 연산 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ 를 적용해 인수 쌍을 합쳐 나감.)
5.OA.B.3 두 규칙으로 두 수열을 만들고 관계 찾기 (인수 $2, 3$ 개짜리 쉬운 경우에서 지수가 두 배로 늘어나는 규칙 발견.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 지수 규칙만 알면 풀 수 있어요 — 앞에 $(3 - 2) = 1$ 을 슬쩍 끼우고, $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ 를 한 번 쓸 때마다 지수가 두 배. 일곱 번 두 배로 $1 \to 128$, 답 $3^{128} - 2^{128}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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