AMC 10 · 2021 · #9
학년 8 arithmetic문제
What is the least possible value of (xy−1)2+(x+y)2 for real numbers x and y?
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AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 실수 $x, y$ 의 모든 짝에 대해 식 $(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ 가 가질 수 있는 가장 작은 값은 얼마인가? 두 항이 모두 제곱이므로 음이 될 수 없고, 그 정확한 최소값을 구해야 합니다.
주어진 것: 식 $E(x, y) = (xy - 1)^2 + (x + y)^2$; $x, y$ 는 임의의 실수; 각 항이 실수의 제곱 $\Rightarrow$ 항상 $\ge 0$; 선택지: (A) $0$, (B) $\frac{1}{4}$, (C) $\frac{1}{2}$, (D) $1$, (E) $2$
구하는 것: $E(x, y)$ 의 최소값과 그 최소를 만드는 $(x, y)$
이해
문제 재정리: 실수 $x, y$ 의 모든 짝에 대해 식 $(xy - 1)^2 + (x + y)^2$ 가 가질 수 있는 가장 작은 값은 얼마인가? 두 항이 모두 제곱이므로 음이 될 수 없고, 그 정확한 최소값을 구해야 합니다.
주어진 것: 식 $E(x, y) = (xy - 1)^2 + (x + y)^2$; $x, y$ 는 임의의 실수; 각 항이 실수의 제곱 $\Rightarrow$ 항상 $\ge 0$; 선택지: (A) $0$, (B) $\frac{1}{4}$, (C) $\frac{1}{2}$, (D) $1$, (E) $2$
계획
주요 도구: #15 다르게 정리하기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기
도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심 — 원래 식은 답을 숨기지만 전개 후 재묶음으로 깔끔한 곱 구조가 드러남. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 두 제곱을 전개·정리해 $(x^2 + 1)(y^2 + 1)$ 로 인수분해. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 $(0, 0)$ 이 최소를 실제로 만든다는 것을 확인. 도구 #3(가능성 지우기)으로 $0$ ($xy=1$ 과 $x+y=0$ 의 실수해 없음) 과 더 큰 보기들을 탈락.
실행 — 정답: D
8.EE.A.2 단계 1 - 최소가 $0$ 일 수 있는지부터 확인.
- $E = 0$ 이려면 두 제곱이 동시에 $0$ — $xy = 1$ 과 $x + y = 0$.
- $x + y = 0$ 에서 $y = -x$, $xy = -x^2$.
- 그러면 $-x^2 = 1$ — 실수해 없음.
- 따라서 (A) $0$ 은 불가능.
💡 두 제곱의 합이 $0$ 이려면 각 제곱이 $0$ — 실수해 없으면 (A) 탈락.
6.EE.A.3 단계 2 - 두 제곱을 전개: $(xy - 1)^2 = x^2 y^2 - 2xy + 1$, $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
- 더하면 $-2xy$ 와 $+2xy$ 가 상쇄.
💡 두 제곱을 전개하면 교차항 $\pm 2xy$ 가 서로 죽임.
6.EE.A.4 단계 3 - 재정리 — $x^2 y^2 + y^2$ 와 $x^2 + 1$ 로 묶음.
- 앞쪽에서 $y^2$ 를 빼내면 $y^2 (x^2 + 1) + (x^2 + 1) = (x^2 + 1)(y^2 + 1)$.
- 식이 두 음 아닌 항의 곱으로 변신.
💡 공통 인수 $(x^2 + 1)$ 을 양쪽 묶음에서 발견 — 합이 곱으로 바뀌는 핵심 재정리.
8.EE.A.2 단계 4 - 실수의 제곱은 $x^2 \ge 0$, 그러니 $x^2 + 1 \ge 1$, $y^2 + 1 \ge 1$.
- 둘 다 $1$ 이상인 실수의 곱은 $1$ 이상.
💡 실수의 제곱은 결코 음이 아님 — 가장 단순한 부등식.
6.EE.A.2 단계 5 - 하한 $1$ 이 실제로 달성되는지 확인.
- $x = 0, y = 0$ 을 대입: $x^2 + 1 = 1$, $y^2 + 1 = 1$, 곱 $= 1$.
- 원래 식에도 직접 대입: $(0 \cdot 0 - 1)^2 + (0 + 0)^2 = 1 + 0 = 1$ ✓.
💡 최소를 만든다고 추측한 점을 원래 식에 대입해 등호를 확인.
4.NF.A.2 단계 6 따라서 최소값은 $1$, 즉 (D).
💡 계산한 최소값과 일치하는 보기 선택.
8.EE.A.2 최소가 $0$ 일 수 있는지부터 확인. $E = 0$ 이려면 두 제곱이 동시에 $0$ — $xy = 1$ 과 $x + y = 0$. $x + y 6.EE.A.3 두 제곱을 전개: $(xy - 1)^2 = x^2 y^2 - 2xy + 1$, $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. 더하면 $ 6.EE.A.4 재정리 — $x^2 y^2 + y^2$ 와 $x^2 + 1$ 로 묶음. 앞쪽에서 $y^2$ 를 빼내면 $y^2 (x^2 + 1) + (x^2 + 8.EE.A.2 실수의 제곱은 $x^2 \ge 0$, 그러니 $x^2 + 1 \ge 1$, $y^2 + 1 \ge 1$. 둘 다 $1$ 이상인 실수의 곱은 $1 6.EE.A.2 하한 $1$ 이 실제로 달성되는지 확인. $x = 0, y = 0$ 을 대입: $x^2 + 1 = 1$, $y^2 + 1 = 1$, 곱 $= 1 4.NF.A.2 따라서 최소값은 $1$, 즉 (D). 검토
합리성 확인: 두 갈래 확인: 인수분해로 $(x^2+1)(y^2+1) \ge 1$ 이 모든 실수 $x, y$ 에서 성립함이 증명되고, $(0, 0)$ 이 $1$ 을 실제로 달성하므로 정확한 최소. $1$ 보다 작은 보기 $\{0, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}\}$ 는 부등식으로 제외. $1$ 이 달성되므로 (E) $2$ 도 너무 큼.
대안 접근: 도구 #6(순수 추측·확인)으로 단순한 점들을 시험. $(0,0)\!\to\!1$; $(1,-1)\!\to\!4$; $(1,1)\!\to\!4$. 가장 작은 값이 $1$ 임이 시사되지만 증명은 아님 — 인수분해 경로가 엄밀.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.A.2제곱근·세제곱근 기호로 해를 표현하기 (실수의 제곱은 음이 아님 포함) (임의의 실수 $x$ 에 대해 $x^2 \ge 0$ 임을 이용 — $x^2 + 1 \ge 1$ 의 토대.)6.EE.A.3연산 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($(xy-1)^2 + (x+y)^2$ 를 전개하고 교차항 $\pm 2xy$ 를 소거.)6.EE.A.4두 식이 동치인 경우를 식별하기 ($x^2 y^2 + x^2 + y^2 + 1 = (x^2 + 1)(y^2 + 1)$ 을 공통 인수 $(x^2 + 1)$ 로 인수분해.)6.EE.A.2문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 값을 구하기 ($(x, y) = (0, 0)$ 에서 원래 식의 값을 계산해 등호 확인.)4.NF.A.2분자·분모가 다른 두 분수의 크기 비교 (계산값 $1$ 을 다섯 보기 중에서 선택.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 대수만 알면 풀 수 있어요 — 두 제곱을 전개해 $\pm 2xy$ 가 소거되게 하고, $(x^2 + 1)(y^2 + 1)$ 로 인수분해하면 각 인수가 $\ge 1$ 이라 곱도 $\ge 1$, $(0, 0)$ 에서 최소 $1$ 이 실제로 달성.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 대수만 알면 풀 수 있어요 — 두 제곱을 전개해 $\pm 2xy$ 가 소거되게 하고, $(x^2 + 1)(y^2 + 1)$ 로 인수분해하면 각 인수가 $\ge 1$ 이라 곱도 $\ge 1$, $(0, 0)$ 에서 최소 $1$ 이 실제로 달성.
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