AMC 10 · 2021 · #18

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicconditional-probabilitypermutations-basicsymmetry-argument easier-related-problemsymmetry-argument ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

A fair $6$ -sided die is repeatedly rolled until an odd number appears. What is the probability that every even number appears at least once before the first occurrence of an odd number?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~\frac{1}{120}$

(B)

$~\frac{1}{32}$

(C)

$~\frac{1}{20}$

(D)

$~\frac{3}{20}$

(E)

$~\frac{1}{6}$

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 공정한 $6$ 면체 주사위를 홀수 ($1, 3,$ 또는 $5$) 가 나올 때까지 반복해서 굴립니다. 첫 번째 홀수가 나오기 전에 세 개의 짝수 면 ($2, 4, 6$) 이 모두 적어도 한 번씩 나올 확률을 구하세요.

주어진 것: 공정한 $6$ 면체 주사위, 면 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$; 처음 홀수가 나올 때까지 굴림; 원하는 사건: 그 첫 홀수 이전에 짝수 $2, 4, 6$ 이 모두 한 번 이상 등장; 선택지: (A) $\tfrac{1}{120}$, (B) $\tfrac{1}{32}$, (C) $\tfrac{1}{20}$, (D) $\tfrac{3}{20}$, (E) $\tfrac{1}{6}$

구하는 것: "첫 홀수 이전에 세 짝수 모두 등장" 사건의 확률

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #6 추측하고 확인하기

도구 #9 (더 쉬운 문제) — 굴리는 횟수를 다 추적하지 말고, 여섯 면이 "처음 등장하는 순서" 만 봅니다. 주사위 대칭성으로 이 순서는 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ 의 $6!$ 가지 순열 중 균등 분포. "홀수가 처음 나오기 전에 모든 짝수 등장" 사건은 "이 순열에서 $2, 4, 6$ 이 앞 세 자리" 사건과 같음 — 깔끔한 조합론으로 변환. 도구 #5 (패턴) 가 대칭성 정당화에, 도구 #6 (확인) 으로 순차 곱셈식 $\tfrac{3}{6} \cdot \tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ 으로 답을 교차 검증.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.7 단계 1

여섯 면 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 이 처음 등장하는 순서만 봅니다.
주사위의 대칭성에 의해 가능한 $6!$ 개 순서가 모두 같은 확률.

$$\text{첫 등장 순서} \sim S_6 \text{ 위의 균등 분포}$$

💡 반복은 무시 — 새 면이 등장하는 순서만 중요하고, 주사위는 모든 면을 대등하게 봄.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 2

"첫 홀수 이전에 모든 짝수 등장" 사건은 "첫 등장 순서에서 $2, 4, 6$ 이 (어떤 순서로든) 처음 세 자리에 오고 $1, 3, 5$ 가 마지막 세 자리에 옴" 사건.
유리한 경우 수: 앞 세 자리에 짝수를 배열하는 $3!$ 가지 $\times$ 뒤 세 자리에 홀수를 배열하는 $3!$ 가지.
전체 경우 수: $6!$.

$$\#\text{유리} = 3! \cdot 3! = 6 \cdot 6 = 36;\ \ \#\text{전체} = 6! = 720$$

💡 짝수가 앞에 오는 순서 개수 ÷ 전체 순서 개수.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.SP.C.8 단계 3

확률 계산: $\dfrac{36}{720} = \dfrac{1}{20}$.
이것이 (C).

$$P = \dfrac{3! \cdot 3!}{6!} = \dfrac{36}{720} = \dfrac{1}{20}\ \Rightarrow\ (C)$$

💡 $720$ 중 $36$ 가지 — 확률 $1/20$.

#6 추측하고 확인하기 7.SP.C.8 단계 4

순차 곱셈으로 교차 검증 (도구 #6).
첫 굴리기가 짝수일 확률: $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$ (홀수면 즉시 실패).
그다음 "새 면" 이 짝수일 확률은 남은 $5$ 면 중 짝수 $2$ 개라 $\tfrac{2}{5}$.
그다음 "새 면" 이 마지막 짝수일 확률은 $\tfrac{1}{4}$.
곱하면: $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{2}{40} = \tfrac{1}{20}$.

$$\tfrac{3}{6} \cdot \tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{6}{120} = \tfrac{1}{20}$$

💡 허들 세 개 ($\tfrac{3}{6}, \tfrac{2}{5}, \tfrac{1}{4}$) 곱하면 동일한 $\tfrac{1}{20}$.

[1] #9 7.SP.C.7 여섯 면 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 이 처음 등장하는 순서만 봅니다. 주사위의 대칭성에 의해 가능한 $6!$ 개 순서가 모두 같은 확률.

[2] #9 7.SP.C.8 "첫 홀수 이전에 모든 짝수 등장" 사건은 "첫 등장 순서에서 $2, 4, 6$ 이 (어떤 순서로든) 처음 세 자리에 오고 $1, 3, 5$ 가

[3] #9 7.SP.C.8 확률 계산: $\dfrac{36}{720} = \dfrac{1}{20}$. 이것이 (C).

[4] #6 7.SP.C.8 순차 곱셈으로 교차 검증 (도구 #6). 첫 굴리기가 짝수일 확률: $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$ (홀수면 즉시 실패).

검토

합리성 확인: 두 방법 모두 — 대칭 / 순열 셈 $\tfrac{3! \cdot 3!}{6!} = \tfrac{1}{20}$ 과 순차 곱셈 $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{20}$ 이 일치하므로 답이 견고. $\tfrac{1}{20} = 5\%$ 라는 크기도 직관에 부합: 특정 면 하나만 나올 $\tfrac{1}{6}$ 보다 어렵지만, 여섯 면 전체의 특정 순서 $\tfrac{1}{120}$ 보다는 쉬움.

대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기 / 여사건) — "첫 홀수가 $k$ 번째 굴리기이고 앞의 $k-1$ 번이 세 짝수 모두를 포함" 사건을 $k = 3, 4, 5, \ldots$ 에 대해 더하기. 결과는 같은 $\tfrac{1}{20}$ 이지만 포함-배제 원리나 점화식이 필요해 훨씬 복잡 — 대칭성 지름길이 훨씬 깔끔.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모델 설계와 사건 확률 구하기 (첫 등장 순서가 균등 분포 순열이라는 등확률 모델 세우기.)
7.SP.C.8 복합 사건의 확률을 정리된 목록·표·시뮬레이션으로 구하기 (유리한 순서 ($3! \cdot 3!$) 를 전체 순서 ($6!$) 로 나누고, 또는 순차 곱셈 $\tfrac{3}{6} \cdot \tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ 로 같은 답을 얻기.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 확률만 알면 풀 수 있어요! 주사위가 반복은 잊고 "새 면이 처음 등장하는 순서" 만 기록한다고 상상하면, 여섯 면의 순서가 모두 같은 확률. "홀수보다 짝수 셋이 먼저" 는 "$2, 4, 6$ 이 앞 세 자리" 이므로 $\tfrac{3! \cdot 3!}{6!} = \tfrac{1}{20}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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