AMC 10 · 2021 · #2
학년 8 arithmetic문제
What is the value of (3−23)2+(3+23)2?
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AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $\sqrt{(3-2\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3+2\sqrt{3})^2}$ 의 값을 구합니다. 임의의 실수 $a$ 에 대해 $\sqrt{a^2} = |a|$ 입니다.
주어진 것: 식 $\sqrt{(3-2\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3+2\sqrt{3})^2}$; $\sqrt{a^2} = |a|$ (주제곱근은 음수가 아님); 선택지: (A) $0$, (B) $4\sqrt{3} - 6$, (C) $6$, (D) $4\sqrt{3}$, (E) $4\sqrt{3} + 6$
구하는 것: 식의 수치 값
이해
문제 재정리: $\sqrt{(3-2\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3+2\sqrt{3})^2}$ 의 값을 구합니다. 임의의 실수 $a$ 에 대해 $\sqrt{a^2} = |a|$ 입니다.
주어진 것: 식 $\sqrt{(3-2\sqrt{3})^2} + \sqrt{(3+2\sqrt{3})^2}$; $\sqrt{a^2} = |a|$ (주제곱근은 음수가 아님); 선택지: (A) $0$, (B) $4\sqrt{3} - 6$, (C) $6$, (D) $4\sqrt{3}$, (E) $4\sqrt{3} + 6$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) — 복잡한 $\sqrt{(\square)^2}$ 를 깔끔한 규칙 $|\square|$ 로 바꾸면 문제가 두 절댓값의 합으로 단순해집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 "$3 - 2\sqrt{3}$ 의 부호" 와 "$3 + 2\sqrt{3}$ 의 부호" 두 갈래로 나눠 처리 후 합치기. 도구 #3(가능성 지우기)은 빠른 검산: $2\sqrt{3} \approx 3.46$ 이므로 $3 - 2\sqrt{3} \approx -0.46$, $3 + 2\sqrt{3} \approx 6.46$, 절댓값의 합 $\approx 6.92 \approx 4\sqrt{3}$ — (D) 만 일치.
실행 — 정답: D
8.EE.A.2 단계 1 - 각 "제곱근 안에 제곱" 을 절댓값으로 바꾸기.
- 임의의 실수 $a$ 에 대해 $\sqrt{a^2} = |a|$ — 주제곱근은 절대 음수가 아닙니다.
💡 제곱 후 제곱근을 취하면 부호 정보만 사라짐 — 8학년 제곱근 표준.
8.NS.A.2 단계 2 - $3$ 과 $2\sqrt{3}$ 의 부호를 결정하기 위해 대소 비교.
- 두 수를 제곱하면 $3^2 = 9$, $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$.
- $12 > 9$ 이고 둘 다 양수이므로 $2\sqrt{3} > 3$.
💡 무리수와 유리수를 제곱으로 비교 — 8학년 "무리수의 유리수 근사".
7.NS.A.1 단계 3 - 각 절댓값을 풀기.
- $2\sqrt{3} > 3$ 이므로 $3 - 2\sqrt{3} < 0$, 따라서 $|3 - 2\sqrt{3}| = -(3 - 2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 3$.
- $3 + 2\sqrt{3} > 0$ 이므로 $|3 + 2\sqrt{3}| = 3 + 2\sqrt{3}$.
💡 음수면 부호를 뒤집어 양수로 — 7학년 차의 절댓값.
7.EE.A.1 단계 4 - 두 항을 더하고 동류항을 묶기.
- $-3$ 과 $+3$ 이 사라지고 $2\sqrt{3}$ 두 개가 남아 $4\sqrt{3}$.
- 선택지 (D).
💡 유리부와 무리부를 따로 묶기 — 7학년 일차식 표준.
8.NS.A.2 단계 5 - 소수로 검산.
- $2\sqrt{3} \approx 3.46$ 이므로 두 항은 약 $0.46$ 과 $6.46$.
- 합 $\approx 6.92$, 그리고 $4\sqrt{3} \approx 6.93$ — (D) 와 일치하고 다른 선택지는 맞지 않음.
💡 소수 어림으로 기호 답 확인 — 8학년 무리수 근사.
8.EE.A.2 각 "제곱근 안에 제곱" 을 절댓값으로 바꾸기. 임의의 실수 $a$ 에 대해 $\sqrt{a^2} = |a|$ — 주제곱근은 절대 음수가 아닙니 8.NS.A.2 $3$ 과 $2\sqrt{3}$ 의 부호를 결정하기 위해 대소 비교. 두 수를 제곱하면 $3^2 = 9$, $(2\sqrt{3})^2 = 4 \ 7.NS.A.1 각 절댓값을 풀기. $2\sqrt{3} > 3$ 이므로 $3 - 2\sqrt{3} < 0$, 따라서 $|3 - 2\sqrt{3}| = -(3 - 7.EE.A.1 두 항을 더하고 동류항을 묶기. $-3$ 과 $+3$ 이 사라지고 $2\sqrt{3}$ 두 개가 남아 $4\sqrt{3}$. 선택지 (D). 8.NS.A.2 소수로 검산. $2\sqrt{3} \approx 3.46$ 이므로 두 항은 약 $0.46$ 과 $6.46$. 합 $\approx 6.92$, 그 검토
합리성 확인: 제곱근 안의 두 수가 모두 실수이므로 각 제곱근은 잘 정의되고 음수가 아님. 합 $4\sqrt{3} \approx 6.93$ 은 양수이며 (C) $6$ 과 (E) $4\sqrt{3} + 6 \approx 12.93$ 사이로 어림과 일치. $-3$ 과 $+3$ 이 깔끔히 상쇄되는 것이 (D) 의 결정적 특징.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인) — 수치로 대입: $3 \approx 3$, $2\sqrt{3} \approx 3.464$. 각 제곱근은 $\sqrt{0.464^2} \approx 0.464$, $\sqrt{6.464^2} \approx 6.464$. 합 $\approx 6.928$ 은 $4\sqrt{3} \approx 6.928$ 과 일치. 기호 계산 없이 같은 답 (D).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
7.NS.A.1유리수의 덧셈·뺄셈 이해 확장 ($|3 - 2\sqrt{3}|$ 을 음수가 아닌 거리로 읽고 내부 음수의 부호를 뒤집는 데 사용.)7.EE.A.1연산 성질로 일차식 더하기·빼기·인수분해·전개 ($(2\sqrt{3} - 3) + (3 + 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3}$ 의 동류항 묶기.)8.NS.A.2무리수의 유리수 근사로 크기 비교 ($3$ 과 $2\sqrt{3}$ 의 대소를 제곱으로 비교하고 $2\sqrt{3} \approx 3.46$ 으로 답 확인.)8.EE.A.2제곱근·세제곱근 기호로 해를 표현 (각 항에 $\sqrt{a^2} = |a|$ 를 적용해 "제곱근 안의 제곱" 구조를 푸는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "$\sqrt{a^2} = |a|$" 만 알면 풀 수 있어요 — 각 제곱근을 절댓값으로 바꾸고 $2\sqrt{3} > 3$ 임을 알면 $-3$ 과 $+3$ 이 상쇄되어 $4\sqrt{3}$ 만 남아요!
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "$\sqrt{a^2} = |a|$" 만 알면 풀 수 있어요 — 각 제곱근을 절댓값으로 바꾸고 $2\sqrt{3} > 3$ 임을 알면 $-3$ 과 $+3$ 이 상쇄되어 $4\sqrt{3}$ 만 남아요!
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