AMC 10 · 2022 · #9

학년 7 geometry-2d

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

combinations-basiccaseworksystematic-enumeration caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

A rectangle is partitioned into $5$ regions as shown. Each region is to be painted a solid color - red, orange, yellow, blue, or green - so that regions that touch are painted different colors, and colors can be used more than once. How many different colorings are possible?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

120

(B)

270

(C)

360

(D)

540

(E)

720

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형이 다섯 개의 직사각형 구역으로 나뉘어 있습니다. 빨강·주황·노랑·파랑·초록 중 한 색으로 각 구역을 칠하되, 변을 공유하는 두 구역은 서로 다른 색이어야 합니다. 색은 여러 번 써도 됩니다. 가능한 칠하기의 수를 구하세요.

주어진 것: 다섯 구역 — 아래줄에 세 개(BL, BC, BR), 위줄에 두 개(TL, TR); 아래줄 폭 $2, 6, 4$, 위줄 폭 $6, 6$, 위줄 경계선 $x=6$ 이 BC 위에 떨어져 있고 BL 은 TL 아래, BR 은 TR 아래에 들어 있음; 사용 가능한 색 $5$ 가지; 인접하지 않은 구역은 같은 색 가능; 선택지: (A) $120$, (B) $270$, (C) $360$, (D) $540$, (E) $720$

구하는 것: 가능한 다섯 구역 칠하기의 수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

도구 #1(그림 그리기) — 그림을 그대로 옮겨 어느 구역이 어느 구역과 변을 공유하는지 인접 관계를 표시. 그 인접도가 곧 문제 전부. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 다섯 개의 부분 계산으로 나누고 곱셈 원리로 합칩니다. 색칠 순서가 핵심 — 각 새 구역이 이미 칠해진 이웃을 최대 두 개만 갖도록 순서를 정하면 매 단계 $5$ 에서 최대 $2$ 만 빼면 됨. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 보조 — 인접 목록을 표로 정리하면 "앞선 이웃 두 개" 검사가 쉬워집니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

그림에서 인접 관계 읽기.
BC 는 가운데에서 나머지 네 구역 모두와 변을 공유 ($x=2$ 에서 BL 과, $x=8$ 에서 BR 과, $y=2$ 의 왼쪽 절반에서 TL 과, 오른쪽 절반에서 TR 과).
TL 은 BL 과도, 그리고 $x=6$ 경계에서 TR 과 변을 공유.
TR 은 BR 과도.
TL–BR 은 변을 공유하지 않고, BL–TR 도 마찬가지.

$$\text{인접쌍: }\{TL\!-\!BL,\;TL\!-\!BC,\;TL\!-\!TR,\;TR\!-\!BC,\;TR\!-\!BR,\;BL\!-\!BC,\;BC\!-\!BR\}$$

💡 BC 가 모든 구역과 닿는 허브; 비인접쌍은 대각선의 TL–BR 과 BL–TR 둘뿐.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.2 단계 2

새 구역이 앞선 이웃을 최대 두 개만 갖도록 순서 정하기 — TL, BL, BC, TR, BR.
앞선 이웃 수 점검 — TL: $0$, BL: $1$ (TL), BC: $2$ (TL, BL), TR: $2$ (TL, BC), BR: $2$ (TR, BC).
모든 단계가 $\le 2$, 좋음.

$$\text{순서: TL}\to\text{BL}\to\text{BC}\to\text{TR}\to\text{BR};\;\text{앞선 이웃: }0,1,2,2,2$$

💡 단계마다 앞선 이웃이 $\le 2$ 이면 $5$ 에서 최대 $2$ 색만 빠지므로 선택 수가 깔끔.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

구역별 선택 수 — TL: 제약 없음 $5$.
BL: TL 과 달라야 함 $4$.
BC: TL 과 BL 모두와 달라야 함 — 그런데 TL 과 BL 도 서로 인접이라 다른 색을 쓰므로 정확히 두 색이 금지, 남는 색 $3$.

$$\text{TL}:5,\;\text{BL}:4,\;\text{BC}:3$$

💡 앞선 이웃 두 개가 서로 인접이면 두 색을 차지, 정확히 두 색이 금지됨.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

TR: TL 과 BC 모두와 달라야 함.
TL 과 BC 도 서로 인접이라 다른 색 — 두 색 금지, $3$ 남음.
BR: TR 과 BC 모두와 달라야 함.
TR 과 BC 도 서로 인접 — 두 색 금지, $3$ 남음.

$$\text{TR}:3,\;\text{BR}:3$$

💡 같은 논리 — 인접한 앞선 이웃 두 개가 정확히 두 색을 차지.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 5

곱셈 원리로 구역별 선택 수를 곱합니다.

$$5 \times 4 \times 3 \times 3 \times 3 = 20 \times 27 = 540 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 독립된 단계의 선택은 곱셈 — 곱셈 셈하기의 기본 원리.

[1] #1 5.G.A.2 그림에서 인접 관계 읽기. BC 는 가운데에서 나머지 네 구역 모두와 변을 공유 ($x=2$ 에서 BL 과, $x=8$ 에서 BR 과, $y=2

[2] #7 5.OA.A.2 새 구역이 앞선 이웃을 최대 두 개만 갖도록 순서 정하기 — TL, BL, BC, TR, BR. 앞선 이웃 수 점검 — TL: $0$, BL:

[3] #7 7.SP.C.8 구역별 선택 수 — TL: 제약 없음 $5$. BL: TL 과 달라야 함 $4$. BC: TL 과 BL 모두와 달라야 함 — 그런데 TL 과 B

[4] #7 7.SP.C.8 TR: TL 과 BC 모두와 달라야 함. TL 과 BC 도 서로 인접이라 다른 색 — 두 색 금지, $3$ 남음. BR: TR 과 BC 모두와

[5] #7 7.SP.C.8 곱셈 원리로 구역별 선택 수를 곱합니다.

검토

합리성 확인: 구조 점검 — 인접 그래프는 $5$ 꼭짓점·$7$ 변, BC 가 차수 $4$ 의 허브에 TL–BL–BC–TR–TL 사이클 + TR–BR–BC 삼각형 구조. 표준 채색 수 공식과 일치, (D) $540$. (A) $120 = 5!$ 은 다섯 구역이 모두 서로 인접한 완전그래프일 때, (E) $720 = 6!$ 은 무관, (B), (C) 는 BC 의 제약을 잘못 세었을 때 ($4$ 를 곱하는 등) 나오는 값.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 직접 — BC 가 모두에게 닿으니 BC 부터 ($5$ 가지). 이후 TL, TR, BL, BR 각각이 BC 와 달라야 함. TL 은 BL, TR 과도, TR 은 BR 과도 추가 제약. TL 과 TR 이 같은 색인지에 따라 경우 나눠야 하므로 번거로움. TL→BL→BC→TR→BR 순서는 경우 분기 없이 깔끔.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.G.A.2 실생활·수학 문제를 점 그래프로 나타내기 (그림의 좌표에서 구역 인접 관계 읽어내기.)
5.OA.A.2 계산 과정을 식으로 기록하기 (구역별 선택 수 $5, 4, 3, 3, 3$ 의 곱으로 표현.)
7.SP.C.8 조직된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (다섯 구역 단계에 곱셈 원리(독립 단계의 곱) 적용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 곱셈 원리만 알면 풀 수 있어요 — 어느 구역끼리 닿는지 그림으로 표시하고, 새 구역이 앞선 이웃을 최대 두 개만 갖는 순서로 칠해, $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 540$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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