AMC 10 · 2022 · #7

학년 7 algebra

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polynomial-factoringpolynomial-rootsvieta-formulasfactorssystematic-enumeration systematic-enumerationpattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: polynomial-factoringfactors

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

For how many values of the constant $k$ will the polynomial $x^{2}+kx+36$ have two distinct integer roots?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 이차식 $x^2 + kx + 36$ 이 서로 다른 두 정수 근을 갖도록 하는 상수 $k$ 의 개수를 구하세요.

주어진 것: 이차식: $x^2 + kx + 36$; 두 근은 정수, 서로 다름; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $14$, (E) $16$

구하는 것: 조건을 만족시키는 정수 $k$ 의 개수

이해

문제 재정리: 이차식 $x^2 + kx + 36$ 이 서로 다른 두 정수 근을 갖도록 하는 상수 $k$ 의 개수를 구하세요.

주어진 것: 이차식: $x^2 + kx + 36$; 두 근은 정수, 서로 다름; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $14$, (E) $16$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #7 작은 문제로 쪼개기

두 근의 곱이 $36$ 이라는 점에서 결국 묻고 있는 것은 '36 의 서로 다른 정수 약수 쌍이 몇 개인가'. 도구 #2(빠짐없이 나열)는 '모든 쌍 찾기'에 딱 맞음. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 '양의 약수 쌍 나열', '음의 약수 쌍 나열', '$k$ 값 세기' 셋으로 분리. 도구 #9(더 쉬운 문제)는 다리 역할 — $k$ 부터 찾지 말고 더 쉬운 약수 쌍 문제부터 풀고 마지막에 $k$ 를 읽어내자. 근의 공식 같은 무거운 도구를 피하고 약수 쌍 세기라는 자연스러운 길로.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.A.1 단계 1

다항식을 인수분해 형태와 맞춤.
두 정수 근을 $r, s$ 라 하면 $x^2 + kx + 36 = (x - r)(x - s)$.
우변 전개 — $(x - r)(x - s) = x^2 - (r + s)x + rs$.
계수 비교 — $rs = 36$, $r + s = -k$.

$$x^2 + kx + 36 = (x-r)(x-s) \;\Rightarrow\; rs = 36,\;r + s = -k$$

💡 $(x-r)(x-s)$ 전개에서 상수항은 $rs$, 일차 계수는 합의 음수 — 약수 쌍 사냥 문제로 바뀜.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 2

$36$ 의 양의 약수 쌍 $(r, s)$ 중 $r < s$ 인 것만 나열 (순서를 정하면 $(a, b)$ 와 $(b, a)$ 가 같은 $k$ 를 주므로 중복 없음).
$36$ 의 양의 약수는 $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$.
쌍지으면 $(1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9)$.
$(6, 6)$ 은 두 근이 같으므로 제외.

$$r<s\;\text{인 양의 쌍}:\;(1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9)$$

💡 약수 쌍을 크기 순으로 나열하면 중복도 누락도 없음.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.C.6 단계 3

음의 약수 쌍은 둘 다 부호를 뒤집어서 — $r \cdot s = 36$ 이면 $(-r)(-s) = 36$ 도 성립 (음수 × 음수 = 양수).
네 양의 쌍을 그대로 거울 — $(-1, -36), (-2, -18), (-3, -12), (-4, -9)$.
$(6, 6)$ 의 거울 $(-6, -6)$ 도 두 근이 같으므로 제외.

$$\text{음의 쌍}:\;(-1, -36), (-2, -18), (-3, -12), (-4, -9)$$

💡 음수끼리 곱하면 양수 — 수직선 음의 영역에서 또 한 묶음의 쌍이 깔끔하게 나옴.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.6 단계 4

부호가 섞인 쌍 (하나는 양, 하나는 음) 은 불가능 — 양수 × 음수 = 음수 라서 곱이 $+36$ 이 될 수 없음.
그 외 쌍 없음.

$$(+) \times (-) = (-) \ne 36$$

💡 부호 규칙이 '섞인 쌍'을 원천 차단.

#2 빠짐없이 나열하기 7.NS.A.1 단계 5

각 쌍에서 $k = -(r+s)$ 계산.
양의 쌍은 $k$ 가 음수 — $(1,36)\to k=-37$; $(2,18)\to k=-20$; $(3,12)\to k=-15$; $(4,9)\to k=-13$.
음의 쌍은 $k$ 가 양수 — $(-1,-36)\to k=37$; $(-2,-18)\to k=20$; $(-3,-12)\to k=15$; $(-4,-9)\to k=13$.

$$k \in \{-37, -20, -15, -13,\;37, 20, 15, 13\}$$

💡 쌍이 정해지면 합도 정해지고, $k$ 는 그 합의 음수.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.A.2 단계 6

여덟 값이 모두 서로 다름 (양·음 쌍은 거울 관계라 겹치지 않음).
개수 $\mathbf{8}$.
답 (B).

$$|\{-37, -20, -15, -13, 13, 15, 20, 37\}| = 8 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 여덟 정수를 비교 — 중복 없음, 작은 유한 집합 세기.

[1] #7 7.EE.A.1 다항식을 인수분해 형태와 맞춤. 두 정수 근을 $r, s$ 라 하면 $x^2 + kx + 36 = (x - r)(x - s)$. 우변 전개 —

[2] #2 4.OA.B.4 $36$ 의 양의 약수 쌍 $(r, s)$ 중 $r < s$ 인 것만 나열 (순서를 정하면 $(a, b)$ 와 $(b, a)$ 가 같은 $k$

[3] #2 6.NS.C.6 음의 약수 쌍은 둘 다 부호를 뒤집어서 — $r \cdot s = 36$ 이면 $(-r)(-s) = 36$ 도 성립 (음수 × 음수 = 양수).

[4] #7 6.NS.C.6 부호가 섞인 쌍 (하나는 양, 하나는 음) 은 불가능 — 양수 × 음수 = 음수 라서 곱이 $+36$ 이 될 수 없음. 그 외 쌍 없음.

[5] #2 7.NS.A.1 각 쌍에서 $k = -(r+s)$ 계산. 양의 쌍은 $k$ 가 음수 — $(1,36)\to k=-37$; $(2,18)\to k=-20$; $(

[6] #2 4.NBT.A.2 여덟 값이 모두 서로 다름 (양·음 쌍은 거울 관계라 겹치지 않음). 개수 $\mathbf{8}$. 답 (B).

검토

합리성 확인: 검산 — $k = -37$ 이면 $x^2 - 37x + 36 = (x - 1)(x - 36)$, 근 $1, 36$ ✓. $k = 13$ 이면 $x^2 + 13x + 36 = (x + 4)(x + 9)$, 근 $-4, -9$ ✓. 답이 $8$ 이고 $9$ 가 아닌 이유 — $(6, 6)$ 쌍은 두 근이 같으므로 ($k = -12$ 가 후보지만) 제외. $14$ 나 $16$ 이 아닌 이유 — $(1, 36)$ 과 $(36, 1)$ 은 같은 쌍, 같은 $k$ 라 순서 없는 쌍 세기가 맞음.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기 — 선택지 역대입). $36$ 의 양의 약수는 $9$ 개 ($1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$). 순서 없는 양의 쌍은 최대 $9$ 개 후보지만, 같은 쌍 $(6, 6)$ 을 빼면 $4$. 음의 부호 거울로 $\times 2$ → $8$. '$\sqrt{36} = 6$ 쌍은 빼야 한다' 와 부합하는 보기는 (B) 뿐. 다만 빠짐없이 나열을 통해 정말 여덟 값이 서로 다름도 함께 확인.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.EE.A.1 연산 성질로 일차식 더하기·빼기·인수분해·전개하기 ($(x - r)(x - s) = x^2 - (r+s)x + rs$ 전개로 $rs = 36$, $r + s = -k$ 읽어내기.)
4.OA.B.4 모든 약수 쌍 찾고 배수 인식, 소수/합성수 판별 ($r < s$ 인 $36$ 의 양의 약수 쌍 네 개 나열.)
6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 점으로 이해하기 (부호 규칙으로 약수 쌍을 음의 정수 영역까지 확장.)
7.NS.A.1 유리수 덧셈·뺄셈으로 확장 (각 쌍에서 $k = -(r+s)$ 계산 (음수 합 포함).)
4.NBT.A.2 여러 자리 자연수 읽고 쓰고 비교하기 (여덟 $k$ 값이 모두 서로 다름을 확인.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 $(x-r)(x-s)$ 전개만 알면 풀 수 있어요 — 상수항 $36$ 은 $rs$ 에서 와야 하므로 $36$ 의 서로 다른 양의 약수 쌍 네 개를 나열하고, 음의 부호로 두 배 해서 $k$ 값 $8$ 개.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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