AMC 10 · 2022 · #8

학년 5 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

multiplesmodular-arithmeticdivisibility-rulespattern-recognitioncomplementary-counting complementary-countingpattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: multiplesdivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

Consider the following $100$ sets of $10$ elements each:
\begin{align*} &{1,2,3,\ldots,10}, \ &{11,12,13,\ldots,20},\ &{21,22,23,\ldots,30},\ &\vdots\ &{991,992,993,\ldots,1000}. \end{align*}
How many of these sets contain exactly two multiples of $7$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$ 부터 $1000$ 까지의 정수를 연속한 열 개씩 묶어 $100$ 개의 블록으로 나눕니다 — $\{1, 2, \ldots, 10\}, \{11, \ldots, 20\}, \ldots, \{991, \ldots, 1000\}$. 이 중 $7$ 의 배수를 정확히 두 개 포함하는 블록은 몇 개인가요?

주어진 것: $100$ 개 블록, 각 블록은 연속한 정수 $10$ 개, 전체 $1$ 부터 $1000$ 까지; 구할 것: $7$ 의 배수를 정확히 $2$ 개 포함하는 블록 수; 선택지: (A) $40$, (B) $42$, (C) $43$, (D) $49$, (E) $50$

구하는 것: $7$ 의 배수를 정확히 두 개 가진 블록의 개수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #15 다르게 정리하기

블록 100개를 일일이 세는 것은 노가다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 질문을 뒤집어 — 블록이 아니라 $7$ 의 배수를 세고 그 배수들이 블록에 어떻게 흩어지는지 본다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 배수를 '소속 블록' 기준으로 묶기 — 각 블록은 정확히 $1$ 개 또는 $2$ 개 ($0$ 도 $3$ 도 없음). 도구 #9(더 쉬운 문제)로 이유 설명 — $7$ 간격, 폭 $10$ 의 창에는 최대 두 개. 전체 배수 개수와 블록당 최소 개수를 알면 '여분'이 곧 두 개를 가진 블록 수. 대수 불필요.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.B.4 단계 1

작은 경우부터 — 블록 $\{1, \ldots, 10\}$ 에는 $7$ 한 개.
블록 $\{11, \ldots, 20\}$ 에는 $14$ 한 개.
블록 $\{21, \ldots, 30\}$ 에는 $21, 28$ 두 개.
처음 세 블록은 $1, 1, 2$.

$$\text{처음 세 블록의}\;7\;\text{배수 개수}:\;1,\;1,\;2$$

💡 세 작은 블록만 봐도 항상 $1$ 개 또는 $2$ 개 — $0$ 은 없음.

#15 다르게 정리하기 4.OA.B.4 단계 2

모든 블록에 최소 한 개.
이웃 $7$ 배수 간격이 $7$ 이고 블록 폭이 $10$ 이므로 어떤 $10$ 개 연속 정수에도 $7$ 의 배수가 적어도 하나.
세 개는 불가능 — 첫 배수에서 세 번째 배수까지 거리는 $14$, 블록의 첫 인덱스와 끝 인덱스 차이 $9$ 보다 큼.
따라서 모든 블록은 정확히 $1$ 개 또는 $2$ 개.

$$\text{간격}=7 < 10 \Rightarrow \ge 1;\;\;14 > 9 \Rightarrow \le 2$$

💡 폭 $10$ 짜리 창 안에서 $7$ 간격은 정확히 한 개나 두 개를 강제 — 블록이 아니라 간격으로 셈.

#16 관점 바꾸기 5.NBT.B.6 단계 3

$1$ 부터 $1000$ 까지 $7$ 의 배수 개수.
$1000$ 이하 최대 배수는 $7 \times 142 = 994$ ($7 \times 143 = 1001 > 1000$).
따라서 $7$ 의 배수는 모두 $142$ 개.

$$\lfloor 1000 \div 7 \rfloor = 142,\;\text{왜냐하면}\;7 \times 142 = 994$$

💡 배수를 직접 세는 것이 '뒤집은' 질문.

#15 다르게 정리하기 4.OA.A.3 단계 4

결합.
정확히 두 배수를 가진 블록 수 $b$, 정확히 한 배수를 가진 블록 수 $a$ 라 하면 $a + b = 100$ (모든 블록은 한 범주), 배수 총합 = $1 \cdot a + 2 \cdot b = 142$.
빼면 $(a + 2b) - (a + b) = 142 - 100$, 즉 $b = 42$.

$$a+b = 100,\;\;a + 2b = 142 \;\Rightarrow\; b = 42$$

💡 모든 블록이 한 개씩만 가졌다고 가정 → $100$ 개 설명됨. 남는 $42$ 개가 '여분' — 두 개를 가진 블록 수.

#16 관점 바꾸기 4.NBT.B.4 단계 5

답 — $7$ 의 배수를 정확히 두 개 포함하는 블록은 $42$ 개.
선택지 (B).

$$b = 42 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 여분을 곧장 답으로 — 관점 바꾸기의 효과.

[1] #9 4.OA.B.4 작은 경우부터 — 블록 $\{1, \ldots, 10\}$ 에는 $7$ 한 개. 블록 $\{11, \ldots, 20\}$ 에는 $14$ 한 개

[2] #15 4.OA.B.4 모든 블록에 최소 한 개. 이웃 $7$ 배수 간격이 $7$ 이고 블록 폭이 $10$ 이므로 어떤 $10$ 개 연속 정수에도 $7$ 의 배수가 적

[3] #16 5.NBT.B.6 $1$ 부터 $1000$ 까지 $7$ 의 배수 개수. $1000$ 이하 최대 배수는 $7 \times 142 = 994$ ($7 \times 1

[4] #15 4.OA.A.3 결합. 정확히 두 배수를 가진 블록 수 $b$, 정확히 한 배수를 가진 블록 수 $a$ 라 하면 $a + b = 100$ (모든 블록은 한 범주

[5] #16 4.NBT.B.4 답 — $7$ 의 배수를 정확히 두 개 포함하는 블록은 $42$ 개. 선택지 (B).

검토

합리성 확인: 양극 확인 — $1$~$1000$ 의 $7$ 배수 총수는 $\lfloor 1000/7 \rfloor = 142$, 블록당 최소 $1$, 최대 $2$. 답 $42$ 는 $0$ 과 $100$ 사이로 타당. 밀도 확인 — 연속한 $7$ 블록(정수 $70$ 개) 안에 $7$ 의 배수는 $\lfloor 70/7 \rfloor = 10$ 개, 대략 $3$ 블록(2개)+$4$ 블록(1개) 배치 ($3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 10$). $100$ 블록으로 확장하면 약 $\tfrac{3}{7} \cdot 100 \approx 43$. 정확한 총수 $142$ 가 $43$ 이 아닌 $42$ 를 가리킴. (A) $40$, (D) $49$, (E) $50$ 은 밀도와 거리가 멀고 (C) $43$ 은 어림 평균값에 해당.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열) — $7$ 의 배수 $7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, \ldots$ 를 적고 각 배수가 어느 블록인지 표시. 같은 블록에 두 배수가 오는 $k$ 쌍을 세면 같은 $42$. 정확하지만 배수 세기 + 빼기 방식이 훨씬 빠름.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.B.4 모든 약수 쌍 찾고 배수 인식, 소수/합성수 판별 (각 블록 안의 $7$ 의 배수 식별 및 간격 추론.)
5.NBT.B.6 네 자리 피제수와 두 자리 제수까지의 자연수 나눗셈 ($\lfloor 1000 / 7 \rfloor = 142$ 로 $1000$ 이하 $7$ 의 배수 개수 계산.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 사용한 다단계 자연수 문제 풀기 ('블록당 1개 또는 2개' 와 '총 142개' 를 결합해 $b = 142 - 100 = 42$ 도출.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙히 하기 (마지막 빼기 $142 - 100 = 42$.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 나눗셈과 배수 개념만 알면 풀 수 있어요 — $1000$ 이하 $7$ 의 배수는 $142$ 개, $100$ 블록에 흩어지고 모든 블록에 최소 하나씩, 그러면 여분 $142 - 100 = 42$ 가 곧 두 개를 가진 블록 수.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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