AMC 8 · 2005 · #20

학년 5 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue

modular-arithmeticlcmequal-spacing modular-arithmeticidentify-subproblems ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Alice and Bob play a game involving a circle whose circumference is divided by 12 equally-spaced points. The points are numbered clockwise, from 1 to 12. Both start on point 12. Alice moves clockwise and Bob, counterclockwise.
In a turn of the game, Alice moves 5 points clockwise and Bob moves 9 points counterclockwise. The game ends when they stop on the same point. How many turns will this take?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 원 위에 $12$ 개의 점이 같은 간격으로 놓여 있고 시계 방향으로 $1$ 부터 $12$ 까지 번호가 매겨져 있습니다. 앨리스와 밥은 둘 다 $12$ 번 점에서 시작합니다. 한 턴마다 앨리스는 시계 방향으로 $5$ 칸, 밥은 반시계 방향으로 $9$ 칸 움직입니다. 둘이 처음으로 같은 점에 멈추는 것은 몇 턴 후일까요?

주어진 것: 원에 $12$ 개의 점이 같은 간격으로 시계 방향으로 $1$ 부터 $12$ 까지 번호 매겨져 있다; 두 사람 모두 $12$ 번 점에서 시작한다; 한 턴: 앨리스는 $+5$ (시계 방향), 밥은 $-9$ (반시계 방향); 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $12$, (D) $14$, (E) $24$

구하는 것: 앨리스와 밥이 같은 점에 처음 멈추는 최소 턴 수

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #5 패턴 찾기

선택지가 $6, 8, 12, 14, 24$ 로 모두 작고, 매 턴 위치 갱신은 $12$ 점짜리 시계 위에서 덧셈·뺄셈 한 번이면 끝납니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 전형적인 상황이죠. (턴, 앨리스 위치, 밥 위치) 표를 만들고 두 열이 처음 같아지는 줄을 찾으면 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 보조로 사용 — 매 턴 앨리스는 $5$ 칸, 밥은 $9$ 칸 이동하므로 두 사람 사이의 "간격" 변화도 일정합니다. 이 일정한 변화 덕분에 매번 처음부터 계산할 필요 없이 순환 패턴이 한눈에 드러납니다.

실행 — 정답: A

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 1

표를 준비합니다.
두 사람 모두 $12$ 번에서 시작하므로 그 상태를 턴 $0$ 이라 부릅시다.
한 턴마다 앨리스의 점 번호는 $5$ 가 늘고, $12$ 를 넘으면 $1$ 로 돌아옵니다.
밥의 점 번호는 $9$ 가 줄고, $1$ 아래로 내려가면 $12$ 로 돌아옵니다.
두 위치가 같아질 때까지 턴별로 나열합니다.

$$\text{앨리스 다음} = \text{앨리스 지금} + 5 \pmod{12}, \quad \text{밥 다음} = \text{밥 지금} - 9 \pmod{12}$$

💡 4학년 "주어진 규칙에서 수 패턴 만들기" 그대로 — 각 사람이 시계 위에서 단순한 더하기·빼기 규칙을 따릅니다.

#2 빠짐없이 나열하기 5.OA.B.3 단계 2

앨리스의 위치를 차례로 구합니다.
$12$ 에서 시작해 매 턴 $5$ 를 더하고, $12$ 를 넘는 부분은 $1$ 부터 다시 셉니다 (덧셈에서는 $12$ 를 $0$ 으로 봐도 같음):

$$\begin{array}{c|c} \text{턴} & \text{앨리스 위치}\\\hline 0 & 12\\ 1 & 12 + 5 = 5\\ 2 & 5 + 5 = 10\\ 3 & 10 + 5 = 15 \to 3\\ 4 & 3 + 5 = 8\\ 5 & 8 + 5 = 13 \to 1\\ 6 & 1 + 5 = 6\\ \end{array}$$

💡 5학년 "두 가지 규칙으로 두 수열을 만들기" — 앨리스 열이 비교할 두 수열 중 하나입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 5.OA.B.3 단계 3

밥의 위치도 같은 방식으로 구합니다.
$12$ 에서 시작해 매 턴 $9$ 를 빼고, $1$ 아래로 내려가면 반시계 방향으로 $12, 11, 10, \ldots$ 으로 잇습니다:

$$\begin{array}{c|c} \text{턴} & \text{밥 위치}\\\hline 0 & 12\\ 1 & 12 - 9 = 3\\ 2 & 3 - 9 = -6 \to 6\\ 3 & 6 - 9 = -3 \to 9\\ 4 & 9 - 9 = 0 \to 12\\ 5 & 12 - 9 = 3\\ 6 & 3 - 9 = -6 \to 6\\ \end{array}$$

💡 같은 5학년 사고 — 밥 열이 비교할 두 번째 수열. 밥의 위치는 $3, 6, 9, 12$ 가 $4$ 턴마다 반복되는 점도 보입니다.

#5 패턴 찾기 5.OA.B.3 단계 4

두 열을 턴별로 나란히 놓고 비교합니다.
같은 점에 처음 만나는 곳이 답입니다.

$$\begin{array}{c|c|c|c} \text{턴} & \text{앨리스} & \text{밥} & \text{같은가?}\\\hline 1 & 5 & 3 & \text{아니오}\\ 2 & 10 & 6 & \text{아니오}\\ 3 & 3 & 9 & \text{아니오}\\ 4 & 8 & 12 & \text{아니오}\\ 5 & 1 & 3 & \text{아니오}\\ 6 & 6 & 6 & \textbf{예}\\ \end{array}$$

💡 두 패턴을 나란히 놓는 것이 바로 5학년 규칙의 핵심 — 처음으로 같아지는 줄이 답입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 5

표에서 답을 읽습니다.
앨리스와 밥이 처음으로 같은 점에 멈추는 것은 턴 $6$ 이고, 두 사람 모두 $6$ 번 점에 있습니다.

$$k = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 체계적인 나열은 찾던 줄이 나타나는 순간 끝납니다 — 여기서는 처음으로 "같은" 줄.

[1] #2 4.OA.C.5 표를 준비합니다. 두 사람 모두 $12$ 번에서 시작하므로 그 상태를 턴 $0$ 이라 부릅시다. 한 턴마다 앨리스의 점 번호는 $5$ 가 늘고,

[2] #2 5.OA.B.3 앨리스의 위치를 차례로 구합니다. $12$ 에서 시작해 매 턴 $5$ 를 더하고, $12$ 를 넘는 부분은 $1$ 부터 다시 셉니다 (덧셈에서는

[3] #2 5.OA.B.3 밥의 위치도 같은 방식으로 구합니다. $12$ 에서 시작해 매 턴 $9$ 를 빼고, $1$ 아래로 내려가면 반시계 방향으로 $12, 11, 10

[4] #5 5.OA.B.3 두 열을 턴별로 나란히 놓고 비교합니다. 같은 점에 처음 만나는 곳이 답입니다.

[5] #2 4.OA.C.5 표에서 답을 읽습니다. 앨리스와 밥이 처음으로 같은 점에 멈추는 것은 턴 $6$ 이고, 두 사람 모두 $6$ 번 점에 있습니다.

검토

합리성 확인: 만나는 점을 다시 확인해 봅시다. $6$ 턴 뒤 앨리스가 시계 방향으로 움직인 칸 수는 $5 \times 6 = 30$. $12$ 점 원에서 $30 = 2 \times 12 + 6$ 이므로 출발점 $12$ 에서 시계 방향으로 $6$ 칸 — 즉 $6$ 번 점. 밥이 반시계 방향으로 움직인 칸 수는 $9 \times 6 = 54$. $54 = 4 \times 12 + 6$ 이므로 $12$ 에서 반시계 방향으로 $6$ 칸 — $11, 10, 9, 8, 7, 6$ 으로 세어 역시 $6$ 번 점. 두 사람 모두 $6$ 번에서 만나므로 턴 $6$, 답 (A) 가 맞습니다. $1$ 부터 $5$ 까지 어느 줄에서도 일치가 없었으니 $6$ 이 정말 처음입니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기)로 "간격" 을 봅니다. 매 턴 앨리스와 밥의 간격(앨리스에서 시계 방향으로 밥까지 거리)이 $5 + 9 = 14$ 만큼 바뀌는데, $12$ 점 원에서는 $14 \equiv 2$ 라 사실상 $2$ 칸씩 어긋납니다. 처음 간격은 $0$ 이므로 $k$ 턴 뒤 간격은 $2k \pmod{12}$. 간격이 다시 $0$ 이 되는 첫 양의 $k$ 는 $2k$ 가 $12$ 의 배수인 가장 작은 $k$, 즉 $k = 6$. 답 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수 또는 모양 패턴 만들기 ("$12$ 점 시계에서 $5$ 더하기", "$12$ 점 시계에서 $9$ 빼기" 규칙을 이용해 앨리스와 밥의 위치 수열을 만드는 데 사용.)
5.OA.B.3 두 가지 규칙으로 두 수열을 만들고 순서쌍을 형성해 비교하기 (앨리스와 밥의 위치 열을 나란히 놓고, 두 수열이 처음으로 같은 값을 갖는 턴을 찾는 데 사용.)

⭐ "원 위에서 언제 만날까?" 라는 문제는 두 사람의 위치를 나란히 적은 표 하나로 대부분 풀려요 — 여기서도 단 $6$ 줄만 적으면 앨리스와 밥이 함께 $6$ 번 점에 도착하는 게 바로 보입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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