AMC 8 · 1999 · #24

학년 5 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue

modular-arithmeticunits-digit-trackingexponentspattern-recognitionparity modular-arithmeticpattern-recognitionmodular-arithmetic-mod-10 ↑ 선수 지식: exponentsmodular-arithmetic

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문제

When $1999^{2000}$ is divided by $5$ , the remainder is

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1999^{2000}$ 을 $5$ 로 나눈 나머지를 구하세요.

주어진 것: 나누어지는 수는 $1999^{2000}$ — $1999$ 를 $2000$ 번 곱한 값; 나누는 수는 $5$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

구하는 것: $1999^{2000}$ 을 $5$ 로 나눈 나머지

이해

문제 재정리: $1999^{2000}$ 을 $5$ 로 나눈 나머지를 구하세요.

주어진 것: 나누어지는 수는 $1999^{2000}$ — $1999$ 를 $2000$ 번 곱한 값; 나누는 수는 $5$; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $4$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 관련 문제로 바꾸기

$1999^{2000}$ 을 직접 계산할 수는 없으니, 도구 #9(더 쉬운 관련 문제) 로 다룰 수 있는 문제로 바꿉니다 — $9^{2000}$ 의 일의 자리만 보면 충분합니다. 밑수 $1999$ 의 일의 자리가 $9$ 이기 때문이고, 일의 자리만 같으면 $5$ 로 나눈 나머지도 같습니다. 그 다음은 도구 #5(패턴 찾기) 가 마무리합니다 — $9^1, 9^2, 9^3, \ldots$ 의 일의 자리는 $9, 1, 9, 1, \ldots$ 로 길이 $2$ 의 주기. 짝수 지수에는 $1$ 이 오고, $1$ 을 $5$ 로 나눈 나머지는 $1$. 도구 #13(대수) 이나 합동식 표기는 일부러 피했습니다 — 패턴만으로 충분합니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 관련 문제로 바꾸기 4.NBT.A.1 단계 1

일의 자리만 보면 된다는 점을 먼저 짚습니다.
끝자리 숫자가 $d$ 인 자연수는 "$10$ 의 배수 $+ d$" 꼴이고 $10$ 은 $5$ 의 배수이므로, $5$ 로 나눈 나머지는 일의 자리 $d$ 만 결정합니다.
즉 $1999^{2000}$ 의 일의 자리만 알면 됩니다.

$$1999^{2000} \bmod 5 = (1999^{2000} \text{ 의 일의 자리}) \bmod 5$$

💡 4학년 자릿값 개념: 십·백·천의 자리는 모두 $5$ 의 배수라서 나머지에는 영향을 주지 않고, 일의 자리만 결정한다.

#9 더 쉬운 관련 문제로 바꾸기 5.NBT.B.5 단계 2

밑수를 일의 자리 숫자로 바꿔도 된다.
두 수를 곱했을 때 결과의 일의 자리는 두 수의 일의 자리에만 달려 있다.
$1999$ 의 일의 자리가 $9$ 이므로 $1999 \times 1999 \times \cdots$ 의 일의 자리는 $9 \times 9 \times \cdots$ 의 일의 자리와 같다.

$$1999^{2000} \text{ 의 일의 자리} = 9^{2000} \text{ 의 일의 자리}$$

💡 5학년 곱셈: 두 수를 곱할 때 결과의 일의 자리는 곱하는 두 수의 일의 자리만으로 정해진다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 3

$9$ 의 작은 거듭제곱들의 일의 자리를 나열해 주기를 찾습니다.

$9^1 = 9,\; 9^2 = 81,\; 9^3 = 729,\; 9^4 = 6561$ — 일의 자리는 $9,\, 1,\, 9,\, 1, \ldots$

💡 4학년 "규칙을 찾아 수열 만들기": $9$ 의 거듭제곱의 일의 자리는 $9, 1, 9, 1, \ldots$ 로 주기 $2$ 로 반복한다.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 4

지수 $2000$ 에서 주기를 읽습니다.
홀수 지수면 일의 자리가 $9$, 짝수 지수면 $1$.
$2000$ 은 짝수이므로 $9^{2000}$ 의 일의 자리는 $1$.

$$2000 \text{ 은 짝수} \;\Rightarrow\; 9^{2000} \text{ 의 일의 자리} = 1$$

💡 주기 $2$ 의 패턴에서는 지수의 홀짝만 보면 일의 자리를 바로 알 수 있다.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 5

일의 자리를 $5$ 로 나눠 나머지를 구합니다.
일의 자리가 $1$ 인 수는 $5$ 로 나누면 나머지가 $1$.

$$1 \div 5 = 0 \text{ 나머지 } 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 4학년 나머지 있는 나눗셈: 일의 자리가 $1$ 인 수는 $5k + 1$ 꼴이므로 나머지는 $1$.

[1] #9 4.NBT.A.1 일의 자리만 보면 된다는 점을 먼저 짚습니다. 끝자리 숫자가 $d$ 인 자연수는 "$10$ 의 배수 $+ d$" 꼴이고 $10$ 은 $5$ 의

[2] #9 5.NBT.B.5 밑수를 일의 자리 숫자로 바꿔도 된다. 두 수를 곱했을 때 결과의 일의 자리는 두 수의 일의 자리에만 달려 있다. $1999$ 의 일의 자리가

[3] #5 4.OA.C.5 $9$ 의 작은 거듭제곱들의 일의 자리를 나열해 주기를 찾습니다.

[4] #5 4.OA.C.5 지수 $2000$ 에서 주기를 읽습니다. 홀수 지수면 일의 자리가 $9$, 짝수 지수면 $1$. $2000$ 은 짝수이므로 $9^{2000}$

[5] #5 4.NBT.B.6 일의 자리를 $5$ 로 나눠 나머지를 구합니다. 일의 자리가 $1$ 인 수는 $5$ 로 나누면 나머지가 $1$.

검토

합리성 확인: 실제로 계산 가능한 작은 지수로 패턴을 확인해 봅니다. $9^2 = 81$ 은 일의 자리가 $1$, $81 = 16 \times 5 + 1$ 로 나머지 $1$. $9^4 = 6561$ 도 일의 자리가 $1$, $6561 = 1312 \times 5 + 1$ 로 나머지 $1$. $9$ 의 모든 짝수 거듭제곱이 나머지 $1$ 을 주므로 답 (B) $1$ 과 일관됩니다. 참고로 (A) $0$ 이 되려면 일의 자리가 $0$ 또는 $5$ 여야 하고, (E) $4$ 가 되려면 $4$ 또는 $9$ 여야 하는데 둘 다 이 주기에 등장하지 않습니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 를 나머지에 직접 적용합니다. $1999$ 를 $5$ 로 나눈 나머지는 $4$ 이므로 $1999^{2000}$ 의 나머지는 $4^{2000}$ 의 나머지와 같습니다. $4^1, 4^2, 4^3, 4^4$ 을 $5$ 로 나눈 나머지는 $4, 1, 4, 1, \ldots$ — 역시 주기 $2$. 짝수 지수이므로 나머지는 $1$, 같은 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.NBT.A.1 자릿값 이해 — 한 자리의 숫자는 그 오른쪽 자리에서 같은 숫자가 나타내는 값의 $10$ 배 ($5$ 로 나눈 나머지가 일의 자리에만 달려 있는 이유를 정당화하는 데 사용(십의 자리 이상은 모두 $5$ 의 배수).)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수의 곱셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 수행 (두 수의 곱의 일의 자리가 두 수의 일의 자리에만 달려 있다는 사실을 근거로, $1999^{2000}$ 과 $9^{2000}$ 의 일의 자리가 같음을 보이는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴을 만들고 그 특징을 찾기 ($9^1, 9^2, 9^3, 9^4, \ldots$ 의 일의 자리 $9, 1, 9, 1, \ldots$ 을 나열하고, "짝수 지수면 일의 자리가 $1$" 이라는 규칙을 읽어내는 데 사용.)
4.NBT.B.6 네 자리 이하의 자연수를 한 자리 수로 나눠 몫과 나머지 구하기 (마지막에 일의 자리 $1$ 을 $5$ 로 나눠 나머지 $1$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ $1999^{2000}$ 을 다 계산할 필요는 없어요 — 일의 자리만 따라가면 됩니다. $9$ 의 거듭제곱은 일의 자리가 $9, 1, 9, 1, \ldots$ 로 반복되니까 짝수 지수면 항상 $1$ 로 끝나고, $1$ 을 $5$ 로 나눈 나머지는 $1$ 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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