AMC 10 · 2024 · #2

학년 8 algebrarate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

linear-equations-two-varsystems-of-equationsrateformula-substitution convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A model used to estimate the time it will take to hike to the top of the mountain on a trail is of the form $T=aL+bG,$ where $a$ and $b$ are constants, $T$ is the time in minutes, $L$ is the length of the trail in miles, and $G$ is the altitude gain in feet. The model estimates that it will take $69$ minutes to hike to the top if a trail is $1.5$ miles long and ascends $800$ feet, as well as if a trail is $1.2$ miles long and ascends $1100$ feet. How many minutes does the model estimates it will take to hike to the top if the trail is $4.2$ miles long and ascends $4000$ feet?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

240

(B)

246

(C)

252

(D)

258

(E)

264

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 등산 시간을 추정하는 모델이 $T = aL + bG$ 입니다. 여기서 $L$ 은 등산로 길이(마일), $G$ 는 고도 상승(피트), $T$ 는 시간(분)이고 $a, b$ 는 미지의 상수입니다. 서로 다른 두 등산로가 둘 다 $69$ 분 걸립니다 — 하나는 $1.5$ 마일에 $800$ 피트 상승, 다른 하나는 $1.2$ 마일에 $1100$ 피트 상승. 같은 모델로 $4.2$ 마일·$4000$ 피트 상승 등산로의 $T$ 를 구하세요.

주어진 것: 모델: $T = aL + bG$, 상수 $a, b$ 는 미지; 등산로 1: $L=1.5,\ G=800,\ T=69$; 등산로 2: $L=1.2,\ G=1100,\ T=69$; 목표 등산로: $L=4.2,\ G=4000$; 선택지: (A) $240$, (B) $246$, (C) $252$, (D) $258$, (E) $264$

구하는 것: $L=4.2,\ G=4000$ 등산로의 추정 시간 $T$

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

미지 상수 두 개를 가진 공식과 데이터 두 개가 주어진 전형적인 도구 #13(대수로 바꾸기) 상황입니다 — 각 등산로를 일차방정식 하나로 옮긴 뒤 $2\times 2$ 연립방정식을 풉니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 두 단계로 나눕니다: (i) 등산로 1·2에서 상수 $a, b$ 를 복원하고, (ii) 그 상수를 $T = aL + bG$ 에 대입해 목표 등산로의 시간을 계산. 두 시나리오 모두 $T = 69$ 로 같다는 점 덕분에 두 식을 빼면 $T$ 가 사라지고 $a$ 와 $b$ 사이의 한 줄 관계식이 바로 나옵니다.

실행 — 정답: B

#13 대수로 바꾸기 8.F.B.4 단계 1

첫 번째 작은 문제: 각 등산로마다 일차방정식 하나를 세웁니다.
$(L, G, T)$ 를 $T = aL + bG$ 에 대입합니다.

$$\begin{cases} 1.5a + 800b = 69 & \text{(등산로 1)} \\ 1.2a + 1100b = 69 & \text{(등산로 2)} \end{cases}$$

💡 8학년 "데이터로 함수 만들기": 각 등산로가 $(L, G) \mapsto T$ 데이터 한 점이고, 두 점을 모두 지나는 선형 모델을 잡는 과정입니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 2

두 식의 우변이 모두 $69$ 이므로 좌변끼리 같습니다.
등산로 1에서 등산로 2를 빼면 상수항이 사라지고 $a, b$ 의 관계식이 바로 나옵니다.

$$1.5a + 800b = 1.2a + 1100b \;\Rightarrow\; 0.3a = 300b \;\Rightarrow\; a = 1000b$$

💡 8학년 연립방정식: $T$ 값이 같다는 것을 이용해 두 식을 빼면 두 변수 연립이 한 줄짜리 관계 $a = 1000b$ 로 줄어듭니다.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

$a = 1000b$ 를 등산로 1에 다시 대입해 $b$ 를 구하고, 거기서 $a$ 를 읽어냅니다.

$$1.5(1000b) + 800b = 69 \;\Rightarrow\; 2300b = 69 \;\Rightarrow\; b = \tfrac{3}{100},\ a = 1000b = 30$$

💡 7학년 일변수 방정식: 한 미지수를 다른 미지수로 표현하면 시스템이 $2300b = 69$ 한 줄로 줄어들고 깔끔하게 나눠집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.F.B.4 단계 4

두 번째 작은 문제: 구한 상수와 새 등산로 $(L, G) = (4.2,\ 4000)$ 을 모델에 대입합니다.

$$T = 30(4.2) + \tfrac{3}{100}(4000) = 126 + 120 = 246 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 이제 모델이 완전히 알려졌으니 새 $(L, G)$ 에 적용하는 일은 대입 한 번 — 두 번째 작은 문제는 산수 한 줄로 끝납니다.

[1] #13 8.F.B.4 첫 번째 작은 문제: 각 등산로마다 일차방정식 하나를 세웁니다. $(L, G, T)$ 를 $T = aL + bG$ 에 대입합니다.

[2] #13 8.EE.C.8 두 식의 우변이 모두 $69$ 이므로 좌변끼리 같습니다. 등산로 1에서 등산로 2를 빼면 상수항이 사라지고 $a, b$ 의 관계식이 바로 나옵니

[3] #13 7.EE.B.4 $a = 1000b$ 를 등산로 1에 다시 대입해 $b$ 를 구하고, 거기서 $a$ 를 읽어냅니다.

[4] #7 8.F.B.4 두 번째 작은 문제: 구한 상수와 새 등산로 $(L, G) = (4.2,\ 4000)$ 을 모델에 대입합니다.

검토

합리성 확인: 구한 상수를 등산로 2에 다시 넣어 확인: $1.2(30) + 1100(0.03) = 36 + 33 = 69$. 맞습니다. 단위도 자연스럽습니다 — $a = 30$ 분/마일, $b = 0.03$ 분/피트이므로 더 길고 더 가파른 등산로일수록 시간이 더 걸립니다. 목표 등산로의 길이 $4.2$ 마일은 등산로 1의 약 $3$ 배, 고도 $4000$ 피트는 $5$ 배이므로 $246 \approx 3.5 \times 69$ 분은 합리적인 크기입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): $a = 30,\ b = 3/100$ 을 알면 각 선택지에 직접 대입해 $30(4.2) + 0.03(4000) = 246$ 이 (B) 와만 맞는다는 것을 확인할 수 있습니다. 연립을 안 풀고 $4.2 = 1.5 + 1.2 + 1.5$, $4000 = 800 + 1100 + ?$ 같은 일차결합 트릭도 떠올릴 수 있지만 그 길은 오히려 더 지저분합니다 — 그래서 도구 #13(연립 풀기)이 더 깔끔한 주된 선택입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.C.8 두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식을 분석하고 풀기 ($1.5a + 800b = 69$, $1.2a + 1100b = 69$ 의 $2\times 2$ 연립을 세우고 상수 $a, b$ 를 푸는 데 사용.)
8.F.B.4 두 양 사이의 일차 관계를 모델링하는 함수 만들기 ($T = aL + bG$ 를 $L, G$ 에 대한 일차 모델로 읽고 두 데이터 점에 맞춰 $(L, G) = (4.2,\ 4000)$ 에 적용하는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수를 사용해 수량을 나타내고 간단한 방정식·부등식을 세우기 (시스템을 일변수 방정식 $2300b = 69$ 으로 줄여 $b$ 를 구하고 다시 $a$ 를 구하는 데 사용.)

⭐ 시간이 같은 두 등산로가 같은 두 미지수에 대한 방정식 두 개를 준다 — 작은 연립을 한 번 풀어 두면 그 모델로 새 등산로의 시간도 바로 계산할 수 있어요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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