AMC 10 · 2024 · #21
학년 8 algebra문제
The numbers, in order, of each row and the numbers, in order, of each column of a 5×5 array of integers form an arithmetic progression of length 5. The numbers in positions (5,5),(2,4),(4,3), and (3,1) are 0,48,16, and 12, respectively. What number is in position (1,2)?
\begin{bmatrix} . & ? &.&.&. \\ .&.&.&48&.\\ 12&.&.&.&.\\ .&.&16&.&.\\ .&.&.&.&0\end{bmatrix}
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AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정수로 이루어진 $5 \times 5$ 표에서 모든 행과 모든 열이 등차수열(AP)을 이룹니다. 네 칸이 고정되어 있습니다: $A_{5,5} = 0$, $A_{2,4} = 48$, $A_{4,3} = 16$, $A_{3,1} = 12$. $A_{1,2}$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $5 \times 5$ 표의 각 행은 길이 $5$ 인 등차수열; 각 열도 길이 $5$ 인 등차수열; $A_{5,5} = 0,\; A_{2,4} = 48,\; A_{4,3} = 16,\; A_{3,1} = 12$; 선택지: (A) $19$, (B) $24$, (C) $29$, (D) $34$, (E) $39$
구하는 것: $1$ 행 $2$ 열의 값 $A_{1,2}$
이해
문제 재정리: 정수로 이루어진 $5 \times 5$ 표에서 모든 행과 모든 열이 등차수열(AP)을 이룹니다. 네 칸이 고정되어 있습니다: $A_{5,5} = 0$, $A_{2,4} = 48$, $A_{4,3} = 16$, $A_{3,1} = 12$. $A_{1,2}$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $5 \times 5$ 표의 각 행은 길이 $5$ 인 등차수열; 각 열도 길이 $5$ 인 등차수열; $A_{5,5} = 0,\; A_{2,4} = 48,\; A_{4,3} = 16,\; A_{3,1} = 12$; 선택지: (A) $19$, (B) $24$, (C) $29$, (D) $34$, (E) $39$
계획
주요 도구: #13 대수로 바꾸기
보조 도구: #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기
표에는 $25$ 개의 칸이 있지만, 한 모서리를 고정하면 단 두 개의 "자유로운 수" 가 모든 것을 결정합니다. $A_{5,5} = 0$ 에 닻을 내리고, $5$ 열의 위로 향하는 공차를 $a$, $5$ 행의 왼쪽으로 향하는 공차를 $b$ 라 합시다. 이것만으로 도구 #13(대수로 바꾸기)을 써서 맨 아래 행과 맨 오른쪽 열의 모든 칸이 $a$ 와 $b$ 의 배수로 표시됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 다리 역할을 합니다 — 길이 $5$ 인 등차수열에서 가운데 항은 양 끝항의 평균이라는 사실입니다. 이 성질을 $3$ 행($A_{3,1} = 12$ 가 한쪽 끝)과 $2$ 행($A_{2,4} = 48$ 이 양옆 두 항의 평균)에 적용하면 $a, b$ 에 대한 깔끔한 $2 \times 2$ 일차연립방정식이 나옵니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 순서를 정해 줍니다: 먼저 $a, b$ 를 구하고, 그 다음 $1$ 행에서 알 수 있는 두 칸으로 $1$ 행의 공차를 구하고, 마지막에 $A_{1,2}$ 를 읽습니다. $25$ 개 변수로 정면돌파할 필요 없이 변수 두 개로 충분합니다.
실행 — 정답: C
6.EE.A.2 단계 1 - 알려진 모서리에 닻을 내리고 두 변수를 도입합니다.
- $A_{5,5} = 0$ 을 고정한 채, $5$ 열의 위로 향하는 공차를 $a$, $5$ 행의 왼쪽으로 향하는 공차를 $b$ 라 합시다.
- 그러면 $5$ 열은 아래에서 위로 $0, a, 2a, 3a, 4a$, $5$ 행은 오른쪽에서 왼쪽으로 $0, b, 2b, 3b, 4b$ 입니다.
💡 두 문자가 한 행과 한 열 전체를 책임지는 — 6학년 "변수는 수를 대신한다" 그대로의 한 수입니다.
6.SP.B.5 단계 2 - $3$ 행에 등차수열의 중간항 성질을 적용합니다.
- $3$ 행은 길이 $5$ 인 등차수열이므로 가운데 항 $A_{3,3}$ 은 양 끝항 $A_{3,1} = 12$ 와 $A_{3,5} = 2a$ 의 평균입니다.
- 이로부터 $A_{3,3}$ 을 $a$ 의 식으로 한 번 적습니다.
💡 길이 $5$ 등차수열의 가운데 항은 양 끝의 평균 — 6학년 "두 수의 평균" 규칙과 같습니다.
6.EE.A.2 단계 3 - $3$ 열에서도 $A_{3,3}$ 의 또 다른 표현을 얻습니다.
- $3$ 열은 등차수열이고 $A_{4,3} = 16$, $A_{5,3} = 2b$ 가 알려져 있습니다.
- 위로 향하는 공차는 $A_{4,3} - A_{5,3} = 16 - 2b$ 이므로, $A_{3,3}$ 은 거기서 한 칸 더 위입니다.
💡 등차수열은 두 항만 알면 결정됩니다 — 빼서 공차를 얻고, 다시 더해 더 멀리 이동합니다.
6.EE.B.7 단계 4 - $A_{3,3}$ 에 대한 두 표현을 같다고 놓아 첫 번째 일차방정식을 얻습니다.
- 같은 칸을 두 방법으로 적었으니 두 식은 같아야 합니다.
💡 같은 칸으로 가는 두 경로는 방정식을 만듭니다 — 6학년 "$px + q = r$ 풀이" 형태.
7.EE.B.4 단계 5 - $2$ 행에서 두 번째 방정식을 만듭니다.
- 중간항 성질을 다시 사용: $A_{2,4}$ 는 $2$ 행 등차수열에서 $A_{2,3}$ 과 $A_{2,5}$ 사이에 있으므로 그 둘의 평균입니다.
- $A_{2,4} = 48$ 이고 $A_{2,5} = 3a$ 입니다.
- $A_{2,3}$ 은 $3$ 열을 한 칸 더 위로: $A_{2,3} = A_{3,3} + d_{3\text{열}} = (32 - 2b) + (16 - 2b) = 48 - 4b$.
💡 같은 중간항 성질을 $2$ 행에 적용 — 연속된 세 등차항에서 가운데는 양옆의 평균입니다.
8.EE.C.8 단계 6 - $2 \times 2$ 연립방정식을 풉니다.
- 식 $1$ 에 $2$ 를 곱해 $b$ 계수를 맞춘 뒤 식 $2$ 와 더합니다.
💡 $2 \times 2$ 일차 연립을 가감법으로 — 정확히 8학년 "연립일차방정식" 기술입니다.
6.EE.B.7 단계 7 - $1$ 행의 공차를 구합니다.
- $a = 20, b = 3$ 이므로 $A_{1,5} = 4a = 80$.
- 또한 $A_{2,3} = 48 - 4b = 36$, $d_{3\text{열}} = 16 - 2b = 10$ 이므로 $A_{1,3} = A_{2,3} + d_{3\text{열}} = 36 + 10 = 46$.
- $1$ 행에는 $A_{1,3} = 46$ 과 $A_{1,5} = 80$ 이 두 칸 간격으로 떨어져 있습니다.
💡 등차수열의 두 항만 알면 한 번의 뺄셈(과 나눗셈)으로 공차가 나옵니다.
6.EE.A.2 단계 8 $1$ 행 안에서 한 칸만 왼쪽으로 옮기면 $A_{1,2}$ 입니다.
💡 $1$ 행 등차수열 안에서 한 번의 뺄셈으로 마무리됩니다.
6.EE.A.2 알려진 모서리에 닻을 내리고 두 변수를 도입합니다. $A_{5,5} = 0$ 을 고정한 채, $5$ 열의 위로 향하는 공차를 $a$, $5$ 행 6.SP.B.5 $3$ 행에 등차수열의 중간항 성질을 적용합니다. $3$ 행은 길이 $5$ 인 등차수열이므로 가운데 항 $A_{3,3}$ 은 양 끝항 $A_{3 6.EE.A.2 $3$ 열에서도 $A_{3,3}$ 의 또 다른 표현을 얻습니다. $3$ 열은 등차수열이고 $A_{4,3} = 16$, $A_{5,3} = 2b$ 6.EE.B.7 $A_{3,3}$ 에 대한 두 표현을 같다고 놓아 첫 번째 일차방정식을 얻습니다. 같은 칸을 두 방법으로 적었으니 두 식은 같아야 합니다. 7.EE.B.4 $2$ 행에서 두 번째 방정식을 만듭니다. 중간항 성질을 다시 사용: $A_{2,4}$ 는 $2$ 행 등차수열에서 $A_{2,3}$ 과 $A_{ 8.EE.C.8 $2 \times 2$ 연립방정식을 풉니다. 식 $1$ 에 $2$ 를 곱해 $b$ 계수를 맞춘 뒤 식 $2$ 와 더합니다. 6.EE.B.7 $1$ 행의 공차를 구합니다. $a = 20, b = 3$ 이므로 $A_{1,5} = 4a = 80$. 또한 $A_{2,3} = 48 - 4b 6.EE.A.2 $1$ 행 안에서 한 칸만 왼쪽으로 옮기면 $A_{1,2}$ 입니다. 검토
합리성 확인: $1$ 행을 통째로 복원해 확인합시다. $A_{1,3} = 46$, $d_{1\text{행}} = 17$ 이므로 $1$ 행은 $12, 29, 46, 63, 80$ — 그리고 $80 = 4a = A_{1,5}$ 와 일치합니다. $2$ 열도 확인: $A_{5,2} = 3b = 9$, $2$ 열의 위로 향하는 공차는 $(A_{1,2} - A_{5,2})/4 = (29 - 9)/4 = 5$ 이므로 $2$ 열은 아래에서 위로 $9, 14, 19, 24, 29$. 이때 $A_{3,2} = 19$ 가 $3$ 행과도 맞는지 봅시다: $3$ 행은 $A_{3,1} = 12$, $A_{3,5} = 2a = 40$ 이므로 공차 $(40 - 12)/4 = 7$, 즉 $12, 19, 26, 33, 40$. $A_{3,2} = 19$ 가 양쪽에서 같게 나오고, 주어진 네 칸이 모두 복원되며, (C) $29$ 가 유일한 답입니다.
대안 접근: 도구 #11(거꾸로 풀기) 과 구조적 사실: 모든 행과 열이 등차수열인 표에서는 $A_{i,j} = p + qi + rj + s\,ij$ 꼴의 쌍선형 함수가 됩니다. 주어진 네 칸을 대입하면 $p, q, r, s$ 에 대한 일차 네 개를 얻고, 풀면 같은 $A_{1,2} = 29$ 가 나옵니다. 본질적으로 같은 대수를 다른 모양으로 포장한 풀이로, 행마다 따로 계산할 필요가 없어집니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.EE.A.2문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 ($5$ 열과 $5$ 행의 공차를 각각 $a, b$ 로 두고, 경계 행·열의 모든 칸을 $a$ 또는 $b$ 의 배수로 표현.)6.SP.B.5관측 개수와 중심 측도(평균) 등을 포함한 수치 자료 요약 (등차수열의 중간항 성질(세 항 또는 다섯 항의 가운데가 양 끝의 평균)을 사용해 $A_{3,3}$ 을 $A_{3,1}, A_{3,5}$ 와, $A_{2,4}$ 를 $A_{2,3}, A_{2,5}$ 와 연결.)6.EE.B.7$x + p = q$ 또는 $px = q$ 꼴 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 (같은 칸의 두 표현을 같다고 놓는 $6 + a = 32 - 2b$, 그리고 $80 = 46 + 2\,d_{1\text{행}}$ 에서 $1$ 행 공차를 푸는 데 사용.)7.EE.B.4변수로 양을 표현하고 단순한 방정식·부등식을 세워 문제 해결 ($2$ 행의 중간항 조건과 $3$ 열의 한 칸 이동을 결합해 두 번째 식 $3a - 4b = 48$ 을 세우는 데 사용.)8.EE.C.8연립일차방정식을 분석하고 풀기 ($\{a + 2b = 26,\; 3a - 4b = 48\}$ 을 가감법으로 풀어 $a = 20, b = 3$ 을 얻는 데 사용.)
⭐ 행도 열도 모두 등차수열인 표에서는 한 모서리에 두 문자만 두면 표 전체가 그 문자로 표현됩니다. "중간항은 양 끝의 평균" 으로 주어진 칸들을 $2 \times 2$ 연립방정식으로 바꾸고, 마지막에 필요한 행만 채우면 끝입니다.
⭐ 행도 열도 모두 등차수열인 표에서는 한 모서리에 두 문자만 두면 표 전체가 그 문자로 표현됩니다. "중간항은 양 끝의 평균" 으로 주어진 칸들을 $2 \times 2$ 연립방정식으로 바꾸고, 마지막에 필요한 행만 채우면 끝입니다.
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