AMC 10 · 2024 · #19
학년 8 arithmetic문제
In the following table, each question mark is to be replaced by "Possible" or "Not
Possible" to indicate whether a nonvertical line with the given slope can contain the
given number of lattice points (points both of whose coordinates are integers). How
many of the 12 entries will be "Possible"?
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AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $3 \times 4$ 표를 만듭니다. 행은 기울기 종류 — 기울기 $0$, $0$ 이 아닌 유리수 기울기, 무리수 기울기. 열은 수직이 아닌 직선이 가질 수 있는 격자점의 개수 — 정확히 $0$, 정확히 $1$, 정확히 $2$, $2$개 이상. $12$ 칸 각각에 대해 "그 기울기 종류의 어떤 직선이 정확히 그 개수만큼의 격자점을 가지는가?" 가능하면 "가능", 아니면 "불가능" 으로 채웁니다. "가능" 칸은 몇 개?
주어진 것: 격자점은 두 좌표가 모두 정수인 점 $(x, y)$; 수직이 아닌 직선이므로 $y = mx + b$ 로 쓸 수 있음; $1$ 행: $m = 0$ (수평선); $2$ 행: $m = p/q$, $p, q$ 는 $0$ 이 아닌 정수, $\gcd(p,q) = 1$; $3$ 행: $m$ 은 무리수; 열: 정확히 $0$, $1$, $2$, $2$개 이상의 격자점; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $9$
구하는 것: $12$ 칸 중 "가능" 칸의 개수
이해
문제 재정리: $3 \times 4$ 표를 만듭니다. 행은 기울기 종류 — 기울기 $0$, $0$ 이 아닌 유리수 기울기, 무리수 기울기. 열은 수직이 아닌 직선이 가질 수 있는 격자점의 개수 — 정확히 $0$, 정확히 $1$, 정확히 $2$, $2$개 이상. $12$ 칸 각각에 대해 "그 기울기 종류의 어떤 직선이 정확히 그 개수만큼의 격자점을 가지는가?" 가능하면 "가능", 아니면 "불가능" 으로 채웁니다. "가능" 칸은 몇 개?
주어진 것: 격자점은 두 좌표가 모두 정수인 점 $(x, y)$; 수직이 아닌 직선이므로 $y = mx + b$ 로 쓸 수 있음; $1$ 행: $m = 0$ (수평선); $2$ 행: $m = p/q$, $p, q$ 는 $0$ 이 아닌 정수, $\gcd(p,q) = 1$; $3$ 행: $m$ 은 무리수; 열: 정확히 $0$, $1$, $2$, $2$개 이상의 격자점; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $9$
계획
주요 도구: #4 격자 논리표
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #1 그림 그리기
문제 자체가 $3 \times 4$ 격자를 내어 주므로 도구 #4(격자 논리표) 가 구조적으로 딱 맞습니다 — 행별로 표를 채우고 칸마다 규칙으로 도장 찍은 뒤 마지막에 ✓ 를 세는 흐름. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 가 표를 세 행으로 나누어 각 행에 공통 핵심 사실 한 줄 — 유리 기울기는 "격자점 $1$ 개 $\Rightarrow$ 무한히", 무리 기울기는 "격자점 $\le 1$" — 을 적용합니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 유리 기울기 행의 보조정리에 쓰이는 직관: $(x_0, y_0)$ 에서 정수 발걸음 $(q, p)$ 마다 또 다른 격자점이 찍히는 기울어진 계단 그림.
실행 — 정답: C
8.NS.A.1 단계 1 - 무리수 행의 핵심 보조정리.
- 수직이 아닌 직선이 서로 다른 격자점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 둘을 포함하면 기울기 $= \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 는 정수의 비 (분모 $\ne 0$) — 즉 유리수.
- 대우: 무리 기울기 $\Rightarrow$ 격자점은 최대 $1$ 개.
💡 8학년 "무리수 = 정수의 비가 아닌 수" 정의를 기울기 공식에 적용하면 무리 기울기 직선에는 격자점이 둘일 수 없음.
8.EE.B.5 단계 2 - 유리수 행의 핵심 보조정리.
- 기울기가 $m = p/q$ (기약) 인 직선이 격자점 $(x_0, y_0)$ 를 지나면 임의의 정수 $k$ 에 대해 $(x_0 + kq, \; y_0 + kp)$ 도 그 직선 위의 격자점.
- "$1$ 개" 가 곧 "무한히 많음".
💡 가로 $q$ 마다 세로 $p$ 만큼 오르는 기울어진 계단 — 한 발을 격자점에 디디면 모든 다음 발도 격자점.
8.F.A.3 단계 3 - $1$ 행 — 기울기 $0$ ($y = b$).
- 네 칸: 정확히 $0$ — $b$ 를 정수가 아닌 값 (예: $y = 0.5$) 으로 — 가능.
- 정확히 $1$ — 불가능, $b$ 가 정수면 모든 정수 $x$ 에서 격자점, 무한히.
- 정확히 $2$ — 같은 이유로 불가능.
- $2$ 개 이상 — $b$ 를 정수 (예: $y = 3$) — 가능.
- $1$ 행 가능 칸 수: $2$.
💡 수평선 $y = b$ 는 기울기를 $0$ 으로 한 8학년 일차함수의 그래프.
8.F.A.3 단계 4 - $2$ 행 — $0$ 이 아닌 유리수 기울기.
- 정확히 $0$ — 가능 (예: $y = \tfrac{1}{2} x + \tfrac{1}{3}$ 을 $6y - 3x = 2$ 로 변형하면 좌변은 $3$ 의 배수, 우변 $2$ 는 아님 → 정수해 없음).
- 정확히 $1$ — 유리수 보조정리로 불가능.
- 정확히 $2$ — 같은 보조정리로 불가능.
- $2$ 개 이상 — 가능 (예: $y = \tfrac{2}{3} x$ 가 $(0,0), (3,2), \dots$ 를 지남).
- $2$ 행 가능 칸 수: $2$.
💡 유리 기울기는 격자점에 대해 "$0$ 개 또는 무한히" 의 양극 — 가운데 두 열은 자동 탈락.
8.NS.A.1 단계 5 - $3$ 행 — 무리수 기울기.
- 정확히 $0$ — 가능 (예: $y = \sqrt{2} x + 0.5$, 정수 $x$ 에 대해 $\sqrt{2} x$ 는 무리수, $0.5$ 를 더해도 무리수, 절대 정수 아님).
- 정확히 $1$ — 가능 (예: $y = \sqrt{2} x$ 는 원점 격자점 하나, 다른 정수 $x$ 에서는 $y$ 가 무리수).
- 정확히 $2$ — 무리수 보조정리로 불가능.
- $2$ 개 이상 — 같은 이유로 불가능.
- $3$ 행 가능 칸 수: $2$.
💡 무리 기울기는 격자점 수의 천장이 $1$ — 정확히 $0$ 열과 $1$ 열만 열린다.
2.OA.B.2 단계 6 - 행별 ✓ 합산.
- $1$ 행 $2$ 개, $2$ 행 $2$ 개, $3$ 행 $2$ 개.
- "가능" 칸 합 $= 2 + 2 + 2 = 6$.
💡 $3 \times 4$ 표의 ✓ 를 세는 것은 2학년 머릿셈 덧셈.
8.NS.A.1 무리수 행의 핵심 보조정리. 수직이 아닌 직선이 서로 다른 격자점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 둘을 포함하면 기울기 $= \df 8.EE.B.5 유리수 행의 핵심 보조정리. 기울기가 $m = p/q$ (기약) 인 직선이 격자점 $(x_0, y_0)$ 를 지나면 임의의 정수 $k$ 에 대해 8.F.A.3 $1$ 행 — 기울기 $0$ ($y = b$). 네 칸: 정확히 $0$ — $b$ 를 정수가 아닌 값 (예: $y = 0.5$) 으로 — 가능. 8.F.A.3 $2$ 행 — $0$ 이 아닌 유리수 기울기. 정확히 $0$ — 가능 (예: $y = \tfrac{1}{2} x + \tfrac{1}{3}$ 을 8.NS.A.1 $3$ 행 — 무리수 기울기. 정확히 $0$ — 가능 (예: $y = \sqrt{2} x + 0.5$, 정수 $x$ 에 대해 $\sqrt{2} 2.OA.B.2 행별 ✓ 합산. $1$ 행 $2$ 개, $2$ 행 $2$ 개, $3$ 행 $2$ 개. "가능" 칸 합 $= 2 + 2 + 2 = 6$. 검토
합리성 확인: 완성된 표: \[\begin{array}{l|cccc} & 0 & 1 & 2 & \ge 2 \\ \hline \text{기울기 } 0 & \checkmark & \times & \times & \checkmark \\ \text{유리 (}\ne 0\text{)} & \checkmark & \times & \times & \checkmark \\ \text{무리수} & \checkmark & \checkmark & \times & \times \end{array}\] ✓ 가 정확히 $6$ 개. "유리 기울기는 $1 \Rightarrow \infty$" 와 "무리 기울기는 $\le 1$" 두 구조 보조정리가 $\times$ 칸을 깔끔히 막고, 모든 $\checkmark$ 칸에는 이름 붙은 예시 직선이 있음. 답 (C) $= 6$ 일치.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기). 무리수 행은 정확히 $2$ 칸이 ✓ (열 $0$, $1$ 만 가능). 유리수 행 (기울기 $0$ 도, $0$ 이 아닌 유리도) 은 "$1 \Rightarrow \infty$" 보조정리로 가운데 두 열이 자동 탈락, ✓ $2$ 칸. 세 행 $\times$ ✓ $2$ 칸 $= 6$ — (C) 만 살아남습니다. 두 보조정리를 신뢰하면 구체적 예시 구성 없이도 답을 좁힐 수 있습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.NS.A.1유리수가 아닌 수를 무리수라 부른다는 사실 알기 (무리 기울기를 정수 차의 비로 쓸 수 없으므로 수직이 아닌 직선이 격자점을 최대 $1$ 개만 가짐을 도출.)8.EE.B.5비례 관계의 그래프를 그리고 단위율을 기울기로 해석하기 (기울기 $p/q$ 를 "가로 $q$, 세로 $p$" 로 읽어 격자점 하나에서 정수 발걸음 $(q, p)$ 마다 새 격자점이 찍힘을 설명.)8.F.A.3$y = mx + b$ 를 일차함수의 식으로 해석하기 (수평선 $y = b$, 기울어진 직선 $y = mx + b$ 로 절편 $b$ 를 골라 행별 "가능" 칸의 예시 직선을 구성.)2.OA.B.220 이내의 덧셈·뺄셈 머릿셈 (세 행의 ✓ 개수 $2 + 2 + 2 = 6$ 을 합산.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년의 "두 격자점 사이 기울기는 유리수" 한 줄 규칙만 알면 풀려요 — 그 한 줄이 $12$ 칸 중 $9$ 칸을 즉시 닫고, $6$ 칸만 "가능" 으로 남습니다!
⭐ 이 AMC 10 문제는 8학년의 "두 격자점 사이 기울기는 유리수" 한 줄 규칙만 알면 풀려요 — 그 한 줄이 $12$ 칸 중 $9$ 칸을 즉시 닫고, $6$ 칸만 "가능" 으로 남습니다!
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