AMC 8 · 1999 · #10

학년 7 probability

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

probability-basiccomplementary-countingfraction-arithmetic complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A complete cycle of a traffic light takes 60 seconds. During each cycle the light is green for 25 seconds, yellow for 5 seconds, and red for 30 seconds. At a randomly chosen time, what is the probability that the light will NOT be green?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{5}{12}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{7}{12}$

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 신호등이 $60$ 초 주기로 작동합니다: 녹색 $25$ 초, 노란색 $5$ 초, 빨간색 $30$ 초. 주기 안 임의의 순간을 봤을 때 신호가 녹색이 아닐 확률을 구하세요.

주어진 것: 한 주기의 총 길이 $= 60$ 초; 녹색 $25$ 초, 노란색 $5$ 초, 빨간색 $30$ 초; 관찰하는 순간은 주기 안에서 균등하게 무작위로 정해짐; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{1}{3}$, (C) $\tfrac{5}{12}$, (D) $\tfrac{1}{2}$, (E) $\tfrac{7}{12}$

구하는 것: 그 순간 신호가 녹색이 아닐 확률

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #16 관점 바꾸기 / 여사건 세기

주기는 $60$ 초짜리 막대 하나가 세 색 구간으로 나뉜 모양이에요. 그래서 도구 #1(그림 그리기) — 길이 $60$ 의 띠를 색칠한 그림 — 으로 표본 공간과 유리한 구간을 한눈에 볼 수 있어요. "녹색이 아닌" 부분은 두 구간(노란색 $+$ 빨간색)이고, 그 합한 길이를 띠에서 그대로 읽으면 분자가 나옵니다. 문제에 "NOT" 이 강조돼 있어 도구 #16(여사건 세기) 도 자연스러워요. 노란색 $+$ 빨간색을 더하는 대신 $1$ 에서 녹색의 비율을 빼면 되거든요. 두 방법 모두 같은 답을 주지만, 어린 학습자가 더 직관적으로 보는 그림 방식을 먼저 보여줍니다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 4.MD.A.2 단계 1

주기를 길이 $60$ 초짜리 막대로 그리고 세 조각으로 나눕니다: 녹색 $25$, 노란색 $5$, 빨간색 $30$.
세 길이가 전체 주기에 맞는지 확인합니다.

$$25 + 5 + 30 = 60 \text{ 초}$$

💡 한 주기를 $60$ 초짜리 띠로 보면 시간 문제가 길이 문제로 바뀌어요. 전체에서 "얼마만큼" 인지 재는 4학년 방식이죠.

#1 그림 그리기 4.OA.A.3 단계 2

녹색이 아닌 조각들의 길이를 더합니다.
노란색은 $5$ 초, 빨간색은 $30$ 초, 그러니 둘이 합쳐 $35$ 초를 차지합니다.

$$\text{녹색이 아닌 초} = 5 + 30 = 35$$

💡 띠를 그려놓고 보면 "녹색이 아닌" 영역은 붙어 있는 두 조각이에요. 두 길이를 더하면 끝.

#1 그림 그리기 7.SP.C.7 단계 3

순간이 주기 위에서 균등 무작위이므로 확률은 유리한 길이 $\div$ 전체 길이와 같습니다.
$35$ 과 $60$ 을 대입합니다.

$$P(\text{녹색 아님}) = \dfrac{35}{60}$$

💡 모든 순간이 같은 확률이면 색칠된 띠의 비율이 곧 확률입니다 — 7학년 균등 확률 모델 그대로.

#1 그림 그리기 4.NF.A.1 단계 4

분수를 약분합니다.
$35$ 와 $60$ 의 최대공약수가 $5$ 이므로 분자와 분모를 모두 $5$ 로 나눕니다.

$$\dfrac{35}{60} = \dfrac{35 \div 5}{60 \div 5} = \dfrac{7}{12} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 분자와 분모를 같은 $0$ 이 아닌 수로 나눠도 분수 값은 변하지 않아요 — 4학년 등가분수.

[1] #1 4.MD.A.2 주기를 길이 $60$ 초짜리 막대로 그리고 세 조각으로 나눕니다: 녹색 $25$, 노란색 $5$, 빨간색 $30$. 세 길이가 전체 주기에 맞는

[2] #1 4.OA.A.3 녹색이 아닌 조각들의 길이를 더합니다. 노란색은 $5$ 초, 빨간색은 $30$ 초, 그러니 둘이 합쳐 $35$ 초를 차지합니다.

[3] #1 7.SP.C.7 순간이 주기 위에서 균등 무작위이므로 확률은 유리한 길이 $\div$ 전체 길이와 같습니다. $35$ 과 $60$ 을 대입합니다.

[4] #1 4.NF.A.1 분수를 약분합니다. $35$ 와 $60$ 의 최대공약수가 $5$ 이므로 분자와 분모를 모두 $5$ 로 나눕니다.

검토

합리성 확인: 여사건으로 다시 확인해 봅시다. 녹색은 $60$ 초 중 $25$ 초이므로 $P(\text{녹색}) = \tfrac{25}{60} = \tfrac{5}{12}$, 따라서 $P(\text{녹색 아님}) = 1 - \tfrac{5}{12} = \tfrac{7}{12}$ — 답 (E) 와 일치합니다. 크기 점검: 녹색이 주기의 절반보다 작으니 "녹색이 아닌" 쪽은 절반보다 커야 하고, $\tfrac{7}{12} > \tfrac{1}{2}$ 가 들어맞아요. 선택지 (A), (B), (C) 는 모두 $\tfrac{1}{2}$ 이하라 이 기준에서 탈락하고, (D) $\tfrac{1}{2}$ 는 녹색과 비녹색이 같아야 한다는 뜻인데 $25$ 대 $35$ 이므로 맞지 않습니다.

대안 접근: 도구 #16(여사건 세기): 노란색 $+$ 빨간색을 더하는 대신 전체에서 녹색을 빼면 됩니다. $P(\text{녹색}) = \tfrac{25}{60} = \tfrac{5}{12}$ 이므로 $P(\text{녹색 아님}) = 1 - \tfrac{5}{12} = \tfrac{12}{12} - \tfrac{5}{12} = \tfrac{7}{12}$. 같은 답이지만 약분할 분수가 두 개에서 한 개로 줄어듭니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.MD.A.2 거리, 시간 간격, 기타 측정량이 포함된 문장제를 네 연산으로 해결하기 ($60$ 초 주기를 $25$, $5$, $30$ 초 구간으로 나뉜 측정 막대로 모델링해 시간 문제를 길이 문제로 바꾸는 데 사용.)
4.OA.A.3 자연수로 된 여러 단계 문장제 해결하기 (노란색과 빨간색 시간을 더해 신호가 녹색이 아닌 총 $35$ 초를 구하는 데 사용.)
4.NF.A.1 분수 $a/b$ 가 $(n \times a)/(n \times b)$ 와 같음을 설명하기 (분자와 분모를 공약수 $5$ 로 나눠 $\tfrac{35}{60}$ 을 $\tfrac{7}{12}$ 로 약분하는 데 사용.)
7.SP.C.7 균등 확률 모델을 만들어 사건의 확률을 구하기 (주기 안 모든 순간을 동일 확률로 보고 "녹색이 아님" 확률을 유리한 초 ($35$) 대 전체 초 ($60$) 로 계산하는 데 사용.)

⭐ 주기를 $60$ 초짜리 막대로 그리고, 녹색이 아닌 초들을 더해 분수로 적기 — 이 AMC 8 문제는 7학년 확률과 4학년 약분만으로 풀려요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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