AMC 8 · 2000 · #24
학년 7 geometry-2d문제
If ∠A=20∘ and ∠AFG=∠AGF, then ∠B+∠D=
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AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 그림에서 점 $A$, $G$, $F$ 가 삼각형을 이루고 $\angle A = 20^\circ$, 두 밑각이 같습니다 ($\angle AFG = \angle AGF$). $F$ 를 지나는 다른 선들이 또 하나의 삼각형 $BFD$ 를 만듭니다. $\angle B + \angle D$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: 삼각형 $AGF$ 에서 $\angle A = 20^\circ$; $\angle AFG = \angle AGF$ (삼각형 $AGF$ 는 $A$ 에서 이등변); $F$ 는 선분 $AD$ 위의 점 (즉 $A$, $F$, $D$ 는 한 직선 위에 있다); $F$ 는 선분 $BE$ 위의 점이고, $G$ 는 $F$ 에서 $B$ 와 같은 쪽 방향에 있다 (즉 반직선 $FG$ = 반직선 $FB$); 선택지: (A) $48^\circ$, (B) $60^\circ$, (C) $72^\circ$, (D) $80^\circ$, (E) $90^\circ$
구하는 것: $\angle B + \angle D$ 의 값
이해
문제 재정리: 그림에서 점 $A$, $G$, $F$ 가 삼각형을 이루고 $\angle A = 20^\circ$, 두 밑각이 같습니다 ($\angle AFG = \angle AGF$). $F$ 를 지나는 다른 선들이 또 하나의 삼각형 $BFD$ 를 만듭니다. $\angle B + \angle D$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: 삼각형 $AGF$ 에서 $\angle A = 20^\circ$; $\angle AFG = \angle AGF$ (삼각형 $AGF$ 는 $A$ 에서 이등변); $F$ 는 선분 $AD$ 위의 점 (즉 $A$, $F$, $D$ 는 한 직선 위에 있다); $F$ 는 선분 $BE$ 위의 점이고, $G$ 는 $F$ 에서 $B$ 와 같은 쪽 방향에 있다 (즉 반직선 $FG$ = 반직선 $FB$); 선택지: (A) $48^\circ$, (B) $60^\circ$, (C) $72^\circ$, (D) $80^\circ$, (E) $90^\circ$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기
그림은 복잡해 보이지만 필요한 정보는 두 개의 삼각형 안에만 있습니다. 위쪽 삼각형 $AGF$ ($\angle A = 20^\circ$ 와 두 밑각이 같다는 조건이 있는 곳) 와 아래쪽 삼각형 $BFD$ ($\angle B$ 와 $\angle D$ 가 내각으로 들어 있는 곳) 입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 그림을 이 두 삼각형으로 나누고, 두 삼각형은 점 $F$ 를 통해 연결됩니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 보조 도구입니다 — $A$ 에 $20^\circ$ 를 표시하고, 같은 밑각에 같은 기호를 표시한 뒤, 직선 $AFD$ 를 다리 삼아 위 삼각형의 정보를 아래 삼각형으로 옮깁니다. 대수는 필요 없고, 삼각형 내각 합 규칙을 두 번 쓰는 것이 전부입니다.
실행 — 정답: D
7.G.B.5 단계 1 - 첫 번째 작은 문제: 삼각형 $AGF$ 의 밑각을 구합니다.
- 세 각의 합은 $180^\circ$ 이고, 두 밑각이 같으므로 각각을 $x$ 라 둡시다.
💡 꼭지각이 $20^\circ$ 인 이등변삼각형의 두 밑각은 각각 $80^\circ$ 입니다.
7.G.B.5 단계 2 - 이 결과를 점 $F$ 너머로 넘깁니다.
- $A$, $F$, $D$ 가 한 직선 위에 있으므로 $\angle AFG$ 와 $\angle GFD$ 는 한 직선을 이루는 두 각이고 합이 $180^\circ$ 입니다.
💡 직선 $AD$ 가 다리 역할을 합니다. $F$ 의 한쪽에 놓인 각이 정해지면 반대쪽 각은 $180^\circ$ 에서 그 값을 뺀 값입니다.
4.G.A.1 단계 3 - 삼각형 $BFD$ 의 $F$ 에서의 각을 찾습니다.
- 점 $G$ 는 직선 $BE$ 위에서 $F$ 를 기준으로 $B$ 와 같은 쪽에 있으므로 반직선 $FG$ 와 반직선 $FB$ 는 같은 방향을 가리킵니다.
- 따라서 $\angle BFD$ 와 $\angle GFD$ 는 똑같은 각입니다.
💡 같은 반직선 위에서 $G$ 를 $B$ 로 바꿔도 각은 그대로입니다 — 각은 방향이 결정하지, 점 이름이 결정하지 않습니다.
7.G.B.5 단계 4 두 번째 작은 문제: 삼각형 $BFD$ 에 내각의 합 규칙을 적용합니다.
💡 삼각형의 세 번째 각이 정해지면, 나머지 두 각을 각각 모르더라도 두 각의 합은 결정됩니다.
7.G.B.5 첫 번째 작은 문제: 삼각형 $AGF$ 의 밑각을 구합니다. 세 각의 합은 $180^\circ$ 이고, 두 밑각이 같으므로 각각을 $x$ 라 둡 7.G.B.5 이 결과를 점 $F$ 너머로 넘깁니다. $A$, $F$, $D$ 가 한 직선 위에 있으므로 $\angle AFG$ 와 $\angle GFD$ 는 4.G.A.1 삼각형 $BFD$ 의 $F$ 에서의 각을 찾습니다. 점 $G$ 는 직선 $BE$ 위에서 $F$ 를 기준으로 $B$ 와 같은 쪽에 있으므로 반직선 7.G.B.5 두 번째 작은 문제: 삼각형 $BFD$ 에 내각의 합 규칙을 적용합니다. 검토
합리성 확인: $\angle B$ 와 $\angle D$ 는 각각 여러 값을 가질 수 있고 (그림이 두 각을 따로 고정하지 않습니다), 그럼에도 문제는 하나의 답을 요구합니다. 이는 곧 "합만" 결정된다는 신호이고, 삼각형 내각 합 규칙이 $\angle BFD$ 만 알아내면 그 합을 바로 주는 구조죠. 산수도 맞습니다: 삼각형 $AGF$ 에서 $20 + 80 + 80 = 180$, 직선 $AD$ 에서 $80 + 100 = 180$, 삼각형 $BFD$ 에서 $\angle B + \angle D + 100 = 180$ 이므로 $80^\circ$ — 답 (D). 결과가 양수이고 $180^\circ$ 보다 작은 점도 삼각형 두 각의 합으로 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) — 외각 정리 지름길: $A$ 가 선분 $DF$ 를 $F$ 너머로 연장한 위치에 있으므로 $\angle AFG$ 는 삼각형 $BFD$ 의 $F$ 에서의 외각입니다. 외각 정리에 의해 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합과 같으므로 $\angle B + \angle D = \angle AFG = 80^\circ$. 한 줄로 같은 답 (D) 가 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.G.B.5여러 단계 문제에서 보각·여각·맞꼭지각·이웃각의 성질을 이용해 식을 세우고 미지의 각을 구하기 (삼각형 $AGF$ 와 $BFD$ 에 내각의 합 규칙을 적용하고, $\angle AFG + \angle GFD = 180^\circ$ 라는 보각 관계로 공유 꼭짓점 $F$ 너머로 정보를 옮기는 데 사용.)4.G.A.1점·직선·선분·반직선·각을 그리고, 2차원 도형에서 이들을 식별하기 (반직선 $FG$ 와 반직선 $FB$ 가 직선 $BE$ 위에서 같은 방향임을 인식해 $\angle GFD$ 를 삼각형 $BFD$ 의 각 $\angle BFD$ 로 바꾸는 데 사용.)
⭐ 복잡해 보이지만 일을 하는 건 두 삼각형뿐 — 위의 $AGF$ 와 아래의 $BFD$, 그리고 둘이 만나는 점 $F$. 이등변삼각형이라 $\angle AFG = 80^\circ$, 직선을 지나가며 $\angle BFD = 100^\circ$, 그러면 삼각형 $BFD$ 의 내각 합 규칙이 $\angle B + \angle D = 80^\circ$ 를 강제합니다 — 답 (D).
⭐ 복잡해 보이지만 일을 하는 건 두 삼각형뿐 — 위의 $AGF$ 와 아래의 $BFD$, 그리고 둘이 만나는 점 $F$. 이등변삼각형이라 $\angle AFG = 80^\circ$, 직선을 지나가며 $\angle BFD = 100^\circ$, 그러면 삼각형 $BFD$ 의 내각 합 규칙이 $\angle B + \angle D = 80^\circ$ 를 강제합니다 — 답 (D).
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