AMC 8 · 2002 · #12

학년 7 probability

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

probability-basicfraction-arithmeticcomplementary-counting complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

A board game spinner is divided into three regions labeled $A$ , $B$ and $C$ . The probability of the arrow stopping on region $A$ is $\frac{1}{3}$ and on region $B$ is $\frac{1}{2}$ . The probability of the arrow stopping on region $C$ is:

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{12}$

(B)

$\frac{1}{6}$

(C)

$\frac{1}{5}$

(D)

$\frac{1}{3}$

(E)

$\frac{2}{5}$

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 스피너가 세 구역 $A$, $B$, $C$ 로 나뉘어 있습니다. 화살표가 $A$ 에 멈출 확률은 $\tfrac{1}{3}$, $B$ 에 멈출 확률은 $\tfrac{1}{2}$ 입니다. $C$ 에 멈출 확률을 구하세요.

주어진 것: $P(A) = \dfrac{1}{3}$; $P(B) = \dfrac{1}{2}$; 화살표는 $A$, $B$, $C$ 중 하나에 반드시 멈춘다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{12}$, (B) $\tfrac{1}{6}$, (C) $\tfrac{1}{5}$, (D) $\tfrac{1}{3}$, (E) $\tfrac{2}{5}$

구하는 것: $P(C)$, 화살표가 구역 $C$ 에 멈출 확률

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여사건으로 세기

보조 도구: #7 작은 문제로 나누기

구역 $C$ 는 스피너에서 $A$ 도 $B$ 도 아닌 부분 그 자체입니다. 도구 #16(여사건으로 세기) 은 "$P(C)$ 가 얼마인가?" 대신 "$A$ 와 $B$ 가 가져가고 남는 부분은 얼마인가?" 로 질문을 바꿔 줍니다. 모든 확률의 합이 $1$ 이므로 남는 부분은 $P(C) = 1 - [P(A) + P(B)]$ 입니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기) 로 계산을 두 단계로 나누면 깔끔합니다 — 먼저 공통분모로 $P(A) + P(B)$ 를 더하고, 그 합을 $1$ 에서 뺍니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 나누기 5.NF.A.1 단계 1

작은 문제 1: 알고 있는 두 확률을 더합니다.
$\tfrac{1}{3}$ 과 $\tfrac{1}{2}$ 의 공통분모는 $6$.

$$P(A) + P(B) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{6}$$

💡 공통분모 $6$ 으로 바꾸면 두 조각을 더할 수 있습니다: $\tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{6}$, $\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{6}$. 구역 $A$ 와 $B$ 가 함께 스피너의 $\tfrac{5}{6}$ 을 차지합니다.

#16 관점 바꾸기 / 여사건으로 세기 7.SP.C.5 단계 2

작은 문제 2: 여사건으로 마무리.
스피너 전체의 확률은 $1$ 이고 구역 $C$ 는 $A$, $B$ 가 가져간 뒤 남는 부분이므로 $1$ 에서 두 확률의 합을 뺍니다.

$$P(C) = 1 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{6}{6} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 세 확률의 합이 $1$ 이므로 $P(C)$ 는 빠진 조각. $1 = \tfrac{6}{6}$ 으로 두면 분모 $6$ 에서 깔끔히 빼져 $\tfrac{1}{6}$ 이 남습니다.

[1] #7 5.NF.A.1 작은 문제 1: 알고 있는 두 확률을 더합니다. $\tfrac{1}{3}$ 과 $\tfrac{1}{2}$ 의 공통분모는 $6$.

[2] #16 7.SP.C.5 작은 문제 2: 여사건으로 마무리. 스피너 전체의 확률은 $1$ 이고 구역 $C$ 는 $A$, $B$ 가 가져간 뒤 남는 부분이므로 $1$ 에서

검토

합리성 확인: 합으로 확인: $\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{6} + \tfrac{3}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{6}{6} = 1$. 세 확률의 합이 $1$ 이 되어 화살표의 가능한 결과 전체를 채웁니다. 크기로도 확인: $A$ ($\tfrac{1}{3}$) 와 $B$ ($\tfrac{1}{2}$) 가 이미 대부분을 가져갔으므로 $C$ 는 가장 작은 구역이어야 합니다. 실제로 $\tfrac{1}{6}$ 은 $\tfrac{1}{3}$ 보다도 $\tfrac{1}{2}$ 보다도 작아 이 직관과 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지 검증: 각 선택지 $P(C)$ 를 넣어 $\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2} + P(C) = 1$ 이 되는지 확인합니다. 오직 (B) $\tfrac{1}{6}$ 만이 $\tfrac{2}{6} + \tfrac{3}{6} + \tfrac{1}{6} = 1$ 로 성립하고, 나머지 네 선택지는 합이 $1$ 에 맞지 않습니다. 따라서 답은 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.NF.A.1 공통분모를 이용해 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈하기 ($\tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{6}$, $\tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{6}$ 로 고쳐 $P(A) + P(B) = \tfrac{5}{6}$ 를 구하고, $1 - \tfrac{5}{6} = \tfrac{1}{6}$ 을 계산하는 데 사용.)
7.SP.C.5 확률은 $0$ 과 $1$ 사이의 수이고, 한 실험의 모든 결과의 확률의 합은 $1$ 임을 이해하기 ($P(A) + P(B) + P(C) = 1$ 을 이용해 알려진 두 구역의 확률을 빼서 $P(C)$ 를 구하는 데 사용.)

⭐ 스피너 전체의 확률은 $1$, 구역 $A$ 와 $B$ 가 이미 $\tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{6}$ 을 차지합니다. $C$ 는 남는 부분 $1 - \tfrac{5}{6} = \tfrac{1}{6}$, 답은 (B).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

비슷한 유형 더 풀어보기