AMC 8 · 2002 · #25

학년 6 rate-ratioalgebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen

ratio-proportionfraction-arithmeticfraction-multiplicationsystems-of-equations convert-to-algebraidentify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Loki, Moe, Nick and Ott are good friends. Ott had no money, but the others did. Moe gave Ott one-fifth of his money, Loki gave Ott one-fourth of his money and Nick gave Ott one-third of his money. Each gave Ott the same amount of money. What fractional part of the group's money does Ott now have?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{10}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{2}{5}$

(E)

$\frac{1}{2}$

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 로키, 모, 닉이 각자 자기 돈의 일부를 오트에게 줍니다. 모는 자기 돈의 $\tfrac{1}{5}$, 로키는 $\tfrac{1}{4}$, 닉은 $\tfrac{1}{3}$ 을 주었는데, 세 사람이 준 금액은 모두 같습니다. 오트는 처음에 돈이 한 푼도 없었어요. 지금 네 친구가 가진 돈을 모두 더한 금액 중 오트가 가진 돈은 몇 분의 몇일까요?

주어진 것: 오트는 처음에 $\$0$ 을 갖고 있었다; 모는 자기 돈의 $\tfrac{1}{5}$ 을 오트에게 주었다; 로키는 자기 돈의 $\tfrac{1}{4}$ 을 오트에게 주었다; 닉은 자기 돈의 $\tfrac{1}{3}$ 을 오트에게 주었다; 세 사람이 준 금액(달러)은 모두 같다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{10}$, (B) $\tfrac{1}{4}$, (C) $\tfrac{1}{3}$, (D) $\tfrac{2}{5}$, (E) $\tfrac{1}{2}$

구하는 것: 네 친구의 전체 돈 중 오트가 가진 비율

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

문제는 구체적인 금액 대신 분수와 "준 금액이 모두 같다"는 조건만 줍니다. 그 "같은 금액"이 모든 관계를 묶는 핵심 고리이므로, 도구 #4(변수 도입하기)로 그 값을 $x$ 라 놓으면 세 친구의 처음 돈이 모두 $x$ 의 배수로 깔끔히 떨어집니다. 모는 $5x$, 로키는 $4x$, 닉은 $3x$ 가 되어 답이 단순한 비율이 되죠. 도구 #6(추측하고 확인하기)는 $x = \$5$ 같은 구체값으로 답이 같은지 빠르게 확인해 주는 보조 도구입니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

같은 금액에 이름을 붙입니다.
친구들이 오트에게 준 금액을 $x$ 달러라 합시다.
오트는 모, 로키, 닉에게서 각각 $x$ 달러씩 받으므로 총 $3x$ 달러를 갖게 됩니다.

$$\text{오트의 돈} = x + x + x = 3x$$

💡 "매번 같은 양"이 나오면 그 양을 문자 하나로 부르는 것만으로 문제가 풀리기 시작합니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 2

각자의 처음 돈을 거꾸로 계산합니다.
모는 자기 돈의 $\tfrac{1}{5}$ 이 $x$ 였으므로 처음에는 $5x$ 를 갖고 있었고, 로키는 $\tfrac{1}{4}$ 이 $x$ 였으므로 $4x$, 닉은 $\tfrac{1}{3}$ 이 $x$ 였으므로 $3x$ 를 갖고 있었습니다.

$$\tfrac{1}{5}M = x \Rightarrow M = 5x;\quad \tfrac{1}{4}L = x \Rightarrow L = 4x;\quad \tfrac{1}{3}N = x \Rightarrow N = 3x$$

💡 "내 돈의 어떤 분수가 $x$"라는 말은 곧 "내 돈은 $x$ 를 그 분수로 나눈 값"이라는 뜻 — 역수를 곱하면 됩니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.3 단계 3

전체 돈을 더합니다.
돈은 친구들 사이를 옮겨 다닐 뿐 전체 합은 그대로이므로, 처음 잔액들을 더하면 됩니다(오트는 처음에 $0$).

$$\text{전체} = 5x + 4x + 3x + 0 = 12x$$

💡 돈이 새로 생기거나 사라지지 않으므로 처음 합과 나중 합은 같습니다.

#4 변수 도입하기 6.RP.A.1 단계 4

오트가 지금 가진 비율을 만듭니다.
오트의 $3x$ 를 전체 $12x$ 로 나누면 됩니다.

$$\dfrac{\text{오트}}{\text{전체}} = \dfrac{3x}{12x} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $x$ 가 깨끗하게 약분돼서 사라집니다 — 답이 실제 금액과 무관하니 당연한 결과예요.

[1] #4 6.EE.A.2 같은 금액에 이름을 붙입니다. 친구들이 오트에게 준 금액을 $x$ 달러라 합시다. 오트는 모, 로키, 닉에게서 각각 $x$ 달러씩 받으므로 총

[2] #4 6.EE.B.7 각자의 처음 돈을 거꾸로 계산합니다. 모는 자기 돈의 $\tfrac{1}{5}$ 이 $x$ 였으므로 처음에는 $5x$ 를 갖고 있었고, 로키는

[3] #4 6.EE.A.3 전체 돈을 더합니다. 돈은 친구들 사이를 옮겨 다닐 뿐 전체 합은 그대로이므로, 처음 잔액들을 더하면 됩니다(오트는 처음에 $0$).

[4] #4 6.RP.A.1 오트가 지금 가진 비율을 만듭니다. 오트의 $3x$ 를 전체 $12x$ 로 나누면 됩니다.

검토

합리성 확인: 구체적인 값으로 확인해 봅시다. $x = \$5$ 라 놓으면 모는 $\$25$, 로키는 $\$20$, 닉은 $\$15$, 오트는 $\$0$ 으로 시작해 전체는 $\$60$. 세 친구가 각자 $\$5$ 씩 주면 오트는 $\$15$ 를 갖게 되고, $\tfrac{15}{60} = \tfrac{1}{4}$ 으로 (B) 와 일치합니다. 크기도 자연스러워요 — 오트는 세 친구의 "한 조각"씩을 합쳐 가졌으니 네 사람 몫의 약 4분의 1이 되는 게 맞습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)로 대수를 건너뛸 수 있습니다. 준 금액을 $\$1$ 이라 추측하면 모는 $\$5$, 로키는 $\$4$, 닉은 $\$3$, 오트는 $\$0$ 으로 전체 $\$12$. 오트는 $\$3$ 을 가지므로 $\tfrac{3}{12} = \tfrac{1}{4}$ 로 답은 (B). 문제의 답은 준 금액이 얼마든 같아야 하므로 한 번의 확인으로 충분합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (친구들이 준 같은 금액을 $x$ 로 두고, 오트의 합과 각자의 처음 돈을 $x$ 의 배수로 표현.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 ($\tfrac{1}{5}M = x$, $\tfrac{1}{4}L = x$, $\tfrac{1}{3}N = x$ 를 풀어 $M = 5x$, $L = 4x$, $N = 3x$ 를 구함.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치인 식 만들기 ($5x + 4x + 3x = 12x$ 로 전체 금액을 정리.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 (오트의 몫을 $\tfrac{3x}{12x} = \tfrac{1}{4}$ 이라는 비율로 표현.)

⭐ 서로 다른 세 분수가 똑같은 금액을 만들 때는 그 금액을 $x$ 로 두면 처음 돈이 각각 $5x,\,4x,\,3x$ 로 떨어집니다. 마지막에는 $x$ 가 약분되어 사라지므로 답은 단순한 비율이 돼요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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