AMC 8 · 2006 · #17

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

probability-basicparityfraction-multiplicationsystematic-enumeration caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicparity

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Jeff rotates spinners $P$ , $Q$ and $R$ and adds the resulting numbers. What is the probability that his sum is an odd number?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{1}{3}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 제프가 세 개의 스피너 $P$, $Q$, $R$ 를 돌려서 나온 세 수를 더합니다. 스피너 $P$ 는 $\{1, 2, 3\}$, 스피너 $Q$ 는 $\{2, 4, 6, 8\}$, 스피너 $R$ 은 $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$ 으로 이루어져 있고, 각 스피너의 영역들은 면적이 같습니다. 합 $P + Q + R$ 이 홀수일 확률을 구하세요.

주어진 것: 스피너 $P$: $\{1, 2, 3\}$, 같은 크기의 영역 $3$ 개; 스피너 $Q$: $\{2, 4, 6, 8\}$, 같은 크기의 영역 $4$ 개; 스피너 $R$: $\{1, 3, 5, 7, 9, 11\}$, 같은 크기의 영역 $6$ 개; 세 스피너는 서로 독립; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{1}{3}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{3}{4}$

구하는 것: 합 $P + Q + R$ 이 홀수일 확률

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 나누기

값 자체는 중요하지 않고, 중요한 건 홀짝성뿐입니다. 세 스피너를 살펴보면 두 개는 홀짝성이 절대 변하지 않아요. $Q$ 의 모든 수는 짝수, $R$ 의 모든 수는 홀수. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기) 가 이 점을 짚어 줍니다. $Q$ 가 항상 짝수, $R$ 이 항상 홀수라면 합의 홀짝성은 단 하나, $P$ 의 홀짝성에 달려 있죠. 도구 #7(작은 문제로 나누기) 가 세 스피너 문제를 "$P$ 가 짝수일 확률" 이라는 하나의 작은 문제로 줄여 줍니다.

실행 — 정답: B

#11 변하지 않는 것 찾기 4.OA.B.4 단계 1

각 스피너의 홀짝성을 정리합니다.
적힌 수들을 보고 홀수인지 짝수인지 표시합니다.

$$P: \{\underbrace{1}_{\text{홀}}, \underbrace{2}_{\text{짝}}, \underbrace{3}_{\text{홀}}\},\quad Q: \{2, 4, 6, 8\} \text{ 모두 짝},\quad R: \{1, 3, 5, 7, 9, 11\} \text{ 모두 홀}$$

💡 $Q$ 의 모든 값이 짝수, $R$ 의 모든 값이 홀수라는 점을 알아차리는 것이 핵심 "불변량" — 제프가 스피너를 돌리기도 전에 이미 두 스피너의 홀짝성은 정해져 있어요.

#7 작은 문제로 나누기 4.OA.B.4 단계 2

불변량을 이용해 문제를 줄입니다.
$Q$ 는 무조건 "짝", $R$ 은 무조건 "홀" 을 더해 주므로, 합의 홀짝성은 $(\text{P의 홀짝}) + \text{짝} + \text{홀} = (\text{P의 홀짝}) + \text{홀}$ 과 같습니다.
따라서 합이 홀수가 되는 건 정확히 $P$ 가 짝수일 때입니다.

$$P + Q + R \equiv P + \text{짝} + \text{홀} \equiv P + \text{홀} \pmod{2}$$

💡 홀수를 더하면 홀짝성이 뒤집히고, 짝수를 더하면 그대로입니다. 그러니 짝 하나와 홀 하나를 더하면 $P$ 의 홀짝성이 딱 한 번 뒤집힙니다: $P$ 가 짝이면 합은 홀, $P$ 가 홀이면 합은 짝.

#7 작은 문제로 나누기 7.SP.C.7 단계 3

결국 따져야 할 확률은 하나뿐입니다.
스피너 $P$ 의 세 영역 중 짝수는 $2$ 하나입니다.

$$P(\text{P가 짝수}) = \dfrac{1}{3}$$

💡 영역이 같은 크기이므로 각 수가 나올 확률은 똑같아서 (유리한 경우)$/$(전체) $= 1/3$.

#7 작은 문제로 나누기 7.SP.C.8 단계 4

독립 사건의 곱으로 확인해 봐도 같습니다.
$P$ 가 짝, $Q$ 가 짝(항상 참), $R$ 이 홀(항상 참) 의 확률을 곱하면 됩니다.

$$P(\text{합이 홀수}) = \dfrac{1}{3} \times 1 \times 1 = \dfrac{1}{3} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 독립이면 확률을 곱하면 되는데, 세 인수 중 두 개가 $1$ 이므로 결국 $P$ 쪽 확률 하나가 답이 됩니다.

[1] #11 4.OA.B.4 각 스피너의 홀짝성을 정리합니다. 적힌 수들을 보고 홀수인지 짝수인지 표시합니다.

[2] #7 4.OA.B.4 불변량을 이용해 문제를 줄입니다. $Q$ 는 무조건 "짝", $R$ 은 무조건 "홀" 을 더해 주므로, 합의 홀짝성은 $(\text{P의 홀짝}

[3] #7 7.SP.C.7 결국 따져야 할 확률은 하나뿐입니다. 스피너 $P$ 의 세 영역 중 짝수는 $2$ 하나입니다.

[4] #7 7.SP.C.8 독립 사건의 곱으로 확인해 봐도 같습니다. $P$ 가 짝, $Q$ 가 짝(항상 참), $R$ 이 홀(항상 참) 의 확률을 곱하면 됩니다.

검토

합리성 확인: $P$ 의 두 경우를 모두 따져 검증합니다. $P$ 가 홀수일 확률은 $2/3$ — 이때 합은 홀 $+$ 짝 $+$ 홀 $=$ 짝. $P$ 가 짝수일 확률은 $1/3$ — 이때 합은 짝 $+$ 짝 $+$ 홀 $=$ 홀. 두 경우가 전체를 덮고 확률의 합도 $2/3 + 1/3 = 1$ 로 맞으니, 합이 홀수일 확률은 정확히 $1/3$, 답 (B) 와 일치합니다. $1/3$ 이라는 값이 직관적으로도 자연스럽죠: $Q$ 와 $R$ 은 홀짝성이 고정이라 답은 결국 스피너 $P$ 에서 나올 수밖에 없고, $P$ 에서 나올 수 있는 분수는 $1/3$ 과 $2/3$ 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #2(체계적으로 나열하기) 로 홀짝성만 적은 표를 만들어도 됩니다. 가능한 패턴은 두 가지뿐: (홀, 짝, 홀) 확률 $2/3$, (짝, 짝, 홀) 확률 $1/3$. 앞은 합이 짝, 뒤는 합이 홀이므로 홀수 합 확률은 $1/3$. 답은 같은 (B) — 불변량으로 줄이는 대신 모든 경우를 직접 적어 확인하는 방식입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.B.4 약수쌍·배수를 찾고, 소수·합성수를 판별 (각 스피너의 수를 홀수·짝수로 분류하고(2로 나누어지는지) 홀짝 규칙을 합의 홀짝 판단에 사용.)
7.SP.C.7 확률 모형을 세워 사건의 확률을 구하기 (스피너 각 영역이 같은 확률로 나온다는 모형으로 $P(\text{P가 짝수}) = 1/3$ 을 계산.)
7.SP.C.8 체계적인 목록·표·나무 그림·시뮬레이션 등을 이용해 복합 사건의 확률 구하기 (세 독립 스피너의 확률을 곱해 $P(\text{합이 홀수}) = \tfrac{1}{3} \times 1 \times 1 = \tfrac{1}{3}$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 스피너 Q는 항상 짝수, 스피너 R은 항상 홀수 — 두 홀짝성이 이미 고정되어 있어서 합의 홀짝을 결정하는 건 스피너 P 뿐이에요. 답은 "P가 짝수일 확률" 그대로 $1/3$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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