AMC 8 · 2000 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

angle-sum-triangleisosceles-trianglesupplementary-angles identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangleisosceles-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

In triangle $CAT$ , we have $\angle ACT =\angle ATC$ and $\angle CAT = 36^\circ$ . If $\overline{TR}$ bisects $\angle ATC$ , then $\angle CRT =$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$36^\circ$

(B)

$54^\circ$

(C)

$72^\circ$

(D)

$90^\circ$

(E)

$108^\circ$

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 $CAT$ 는 $\angle ACT = \angle ATC$ 인 이등변삼각형이고, 꼭지각 $\angle CAT = 36^\circ$ 입니다. 선분 $\overline{TR}$ 가 $\angle ATC$ 를 이등분하며 $R$ 은 변 $\overline{CA}$ 위에 있습니다. $\angle CRT$ 를 구하세요.

주어진 것: $\triangle CAT$ 는 $\angle ACT = \angle ATC$ ($A$ 가 꼭지점인 이등변삼각형); $\angle CAT = 36^\circ$; $\overline{TR}$ 가 $\angle ATC$ 를 이등분하고, $R$ 은 변 $\overline{CA}$ 위에 있음; 선택지: (A) $36^\circ$, (B) $54^\circ$, (C) $72^\circ$, (D) $90^\circ$, (E) $108^\circ$

구하는 것: $\angle CRT$ 의 크기

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 나누기

이미 그림이 주어져 있으므로 도구 #1(그림 그리기)에 따라 모든 각을 그림 위에 직접 읽어 적는 방식이 가장 깔끔합니다. 이등분선 $\overline{TR}$ 가 큰 삼각형 $\triangle CAT$ 안에서 우리가 구해야 하는 각을 품은 작은 삼각형 $\triangle CRT$ 를 잘라냅니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 두 번의 짧은 "삼각형 내각의 합" 작업으로 쪼개세요. 먼저 $\triangle CAT$ 에서 밑각 $\angle ATC$ 를 구하고, 그다음 두 각을 이미 아는 $\triangle CRT$ 에서 $\angle CRT$ 를 구합니다. "삼각형 세 각의 합은 $180^\circ$" 외에는 식도 필요 없습니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 1

큰 삼각형부터 읽습니다.
$\triangle CAT$ 의 두 밑각 $\angle ACT = \angle ATC$ 이고 꼭지각 $\angle CAT = 36^\circ$.
세 각의 합이 $180^\circ$ 이므로, 두 같은 밑각이 차지하는 합은 $180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$.

$$\angle ACT = \angle ATC = \dfrac{180^\circ - 36^\circ}{2} = \dfrac{144^\circ}{2} = 72^\circ$$

💡 8학년 "삼각형 내각의 합은 $180^\circ$" — 두 같은 밑각이 남은 $144^\circ$ 를 똑같이 나눠 가집니다.

#7 작은 문제로 나누기 7.G.B.5 단계 2

이등분선을 적용합니다.
$\overline{TR}$ 가 $\angle ATC = 72^\circ$ 를 절반으로 자르므로 작은 삼각형 $\triangle CRT$ 안의 조각은 $\angle RTC = 36^\circ$.
그림의 $T$ 자리에 $36^\circ$ 를 적어 둡니다.

$$\angle RTC = \dfrac{1}{2}\angle ATC = \dfrac{72^\circ}{2} = 36^\circ$$

💡 7학년 각의 성질: 이등분선은 한 각을 두 개의 같은 조각으로 나눕니다.

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 3

이제 작은 삼각형을 읽습니다.
$\triangle CRT$ 의 $C$ 자리 각은 그대로 $\angle ACT = 72^\circ$ ($R$ 이 변 $\overline{CA}$ 위에 있으므로 $C$ 의 각은 변하지 않음), $T$ 자리 각은 이등분된 조각 $\angle RTC = 36^\circ$.
세 각의 합이 $180^\circ$ 여야 합니다.

$$\angle CRT = 180^\circ - \angle RCT - \angle RTC = 180^\circ - 72^\circ - 36^\circ = 72^\circ \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 작은 삼각형에 다시 같은 "내각의 합" 을 적용하고, 알고 있는 두 각을 $180^\circ$ 에서 뺍니다.

[1] #1 8.G.A.5 큰 삼각형부터 읽습니다. $\triangle CAT$ 의 두 밑각 $\angle ACT = \angle ATC$ 이고 꼭지각 $\angle CA

[2] #7 7.G.B.5 이등분선을 적용합니다. $\overline{TR}$ 가 $\angle ATC = 72^\circ$ 를 절반으로 자르므로 작은 삼각형 $\tria

[3] #1 8.G.A.5 이제 작은 삼각형을 읽습니다. $\triangle CRT$ 의 $C$ 자리 각은 그대로 $\angle ACT = 72^\circ$ ($R$ 이

검토

합리성 확인: 두 가지 점검. (i) $\triangle CRT$ 내각의 합: $72^\circ + 36^\circ + 72^\circ = 180^\circ$. (ii) 외각 관점: $\angle CRT$ 는 $\triangle ART$ 의 $R$ 에서의 외각이므로 두 원격 내각의 합 $\angle RAT + \angle ATR = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ$ 와 같습니다 — 같은 답. 함정 선택지도 흔한 실수와 짝지어 있습니다. (A) $36^\circ$ 는 꼭지각이나 이등분 조각에서 멈춘 경우, (B) $54^\circ$ 는 $108^\circ$ 를 반으로 나눈 경우(꼭지각과 밑각을 헷갈림), (E) $108^\circ$ 는 $180^\circ - 72^\circ$, 즉 $\overline{CA}$ 위에서 $R$ 의 다른 쪽 각.

대안 접근: 도구 #10(관련 문제 활용하기): 이 문제는 전형적인 "황금 삼각형" $36\text{-}72\text{-}72$ 이등변삼각형입니다. 한 밑각을 이등분하면 다시 두 개의 작은 이등변삼각형으로 쪼개진다는 표준 성질이 있습니다. 아래 조각 $\triangle CRT$ 의 각은 $C$ 에서 $72^\circ$, $T$ 에서 $36^\circ$, 따라서 $R$ 에서 $72^\circ$ — 자연스럽게 $CR = CT$ 인 이등변삼각형이 되어 계산 없이도 (C) 가 보입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 삼각형 내각의 합에 대한 비형식적 논증 사용하기 ("삼각형 세 각의 합은 $180^\circ$" 를 두 번 적용 — $\triangle CAT$ 에서 $\angle ATC = 72^\circ$ 를 얻고, $\triangle CRT$ 에서 $\angle CRT = 72^\circ$ 를 얻는 데 사용.)
7.G.B.5 보각·여각·맞꼭지각·인접각 성질을 이용해 간단한 식 세우기 (이등분 관계 $\angle RTC = \tfrac{1}{2}\angle ATC = 36^\circ$ 를 읽고, $R$ 이 변 $\overline{CA}$ 위에 있으므로 $\angle RCT$ 가 $\angle ACT$ 와 같음을 인식하는 데 사용.)

⭐ 그림 위에 알 수 있는 각을 모두 적어 두면, 작은 삼각형 $\triangle CRT$ 안에 $72^\circ$ 와 $36^\circ$ 가 이미 있습니다 — 나머지 한 각은 자동으로 $180^\circ - 72^\circ - 36^\circ = 72^\circ$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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