AMC 8 · 2003 · #6

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

pythagorean-theoremperfect-squaresarea-trianglesspatial-visualization identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: perfect-squaresarea-trianglesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Given the areas of the three squares in the figure, what is the area of the interior triangle?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

300

(E)

1800

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 그림에서 세 정사각형이 안쪽 삼각형의 변을 따라 붙어 있습니다. 정사각형의 넓이는 각각 $25$, $144$, $169$입니다. 안쪽 삼각형의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 안쪽 삼각형의 세 변에 각각 정사각형이 그려져 있다; 정사각형들의 넓이는 $25$, $144$, $169$; 선택지: (A) $13$, (B) $30$, (C) $60$, (D) $300$, (E) $1800$

구하는 것: 안쪽 삼각형의 넓이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #10 관련 문제 활용하기

그림은 각 정사각형을 삼각형의 한 변에 대응시키므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 단계로 나눕니다 — (1) 각 정사각형의 넓이에서 변의 길이를 구하고, (2) 변이 $5, 12, 13$ 인 삼각형이 어떤 삼각형인지 확인하고, (3) 그 넓이를 구합니다. 도구 #10(관련 문제 활용하기)은 $5\text{-}12\text{-}13$ 이 잘 알려진 피타고라스 수임을 떠올리는 것입니다. 그러면 피타고라스 정리의 역으로 (3)이 쉬워집니다 — 직각삼각형이고 두 변이 곧 밑변과 높이입니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 1

각 정사각형의 넓이로부터 변의 길이를 구합니다.
넓이 $A$ 인 정사각형의 한 변은 $\sqrt{A}$ 입니다.

$$\sqrt{25} = 5,\quad \sqrt{144} = 12,\quad \sqrt{169} = 13$$

💡 8학년 "$x^2 = p$ 의 해를 제곱근으로 나타내기" — 변의 길이는 그 정사각형 넓이의 제곱근입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.A.2 단계 2

그림에서 삼각형의 세 변을 읽습니다.
안쪽 삼각형의 각 변은 한 정사각형의 변과 같으므로 삼각형의 세 변은 $5$, $12$, $13$ 입니다.

$$\text{삼각형의 세 변} = 5,\; 12,\; 13$$

💡 7학년 "주어진 조건으로 도형 그리기" — 정사각형의 변이 곧 삼각형의 변입니다.

#10 관련 문제 활용하기 8.G.B.6 단계 3

피타고라스 정리의 역을 이용해 직각삼각형 여부를 확인합니다.
$a^2 + b^2 = c^2$ 이면 두 변 $a, b$ 가 직각을 이루고 $c$ 가 빗변인 직각삼각형입니다.

$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \;\Rightarrow\; \text{밑변과 높이가 } 5, 12 \text{ 인 직각삼각형}$$

💡 8학년 "피타고라스 정리와 그 역의 증명 설명하기" — $5\text{-}12\text{-}13$ 은 가장 익숙한 직각삼각형 패턴입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 4

넓이를 계산합니다.
직각삼각형에서는 두 변이 그대로 밑변과 높이이므로 두 변의 곱의 반이 넓이입니다.

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 6학년 "직각삼각형의 넓이 구하기" — 밑변과 높이만 정해지면 공식 한 줄로 끝납니다.

[1] #7 8.EE.A.2 각 정사각형의 넓이로부터 변의 길이를 구합니다. 넓이 $A$ 인 정사각형의 한 변은 $\sqrt{A}$ 입니다.

[2] #7 7.G.A.2 그림에서 삼각형의 세 변을 읽습니다. 안쪽 삼각형의 각 변은 한 정사각형의 변과 같으므로 삼각형의 세 변은 $5$, $12$, $13$ 입니다.

[3] #10 8.G.B.6 피타고라스 정리의 역을 이용해 직각삼각형 여부를 확인합니다. $a^2 + b^2 = c^2$ 이면 두 변 $a, b$ 가 직각을 이루고 $c$

[4] #7 6.G.A.1 넓이를 계산합니다. 직각삼각형에서는 두 변이 그대로 밑변과 높이이므로 두 변의 곱의 반이 넓이입니다.

검토

합리성 확인: 선택지로 확인해 봅시다. (A) $13$ 은 변의 길이이지 넓이가 아니므로 함정입니다. (E) $1800$, (D) $300$ 은 너무 큽니다 — 이 직각삼각형은 한 변이 $12$ 인 정사각형 안에 들어가므로 넓이는 $144$ 보다 작아야 합니다. (C) $60 = 5 \cdot 12$ 는 $\tfrac{1}{2}$ 를 빼먹은 값입니다. 한계 조건과 $\tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12$ 양쪽에 모두 맞는 답은 (B) $30$ 뿐이므로 정답이 확인됩니다.

대안 접근: 도구 #11(변하지 않는 것 찾기): 넓이 관계 $25 + 144 = 169$ 은 곧 $5^2 + 12^2 = 13^2$ 과 같은 식입니다. 즉 작은 두 정사각형의 넓이의 합이 가장 큰 정사각형의 넓이와 같다는 "불변량"이 직각삼각형임을 곧바로 알려 줍니다. 그 다음 $\tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ 으로 마무리됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.2 $x^2 = p$ 형태의 방정식의 해를 제곱근 기호로 나타내기 (각 정사각형의 넓이에서 변의 길이를 구하는 데 사용: $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{144}=12$, $\sqrt{169}=13$.)
7.G.A.2 주어진 조건을 만족하는 도형 그리기 (그림을 읽어 삼각형의 세 변이 세 정사각형의 변과 같음을 확인하고 $5, 12, 13$ 을 얻는 데 사용.)
8.G.B.6 피타고라스 정리와 그 역의 증명 설명하기 ($5^2 + 12^2 = 13^2$ 에 피타고라스 정리의 역을 적용해 변 $5, 12$ 가 직각을 이루는 직각삼각형임을 결론짓는 데 사용.)
6.G.A.1 직사각형으로 합치거나 삼각형으로 분해하여 직각삼각형의 넓이 구하기 (두 변을 밑변과 높이로 두고 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 로 넓이 $30$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 각 정사각형의 넓이가 삼각형 한 변의 길이를 알려 줍니다. $5$-$12$-$13$ 직각삼각형이 보이면 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ 으로 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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