AMC 8 · 2005 · #9

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

isosceles-triangleangle-sum-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangleisosceles-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

In quadrilateral $ABCD$ , sides $\overline{AB}$ and $\overline{BC}$ both have length 10, sides $\overline{CD}$ and $\overline{DA}$ both have length 17, and the measure of angle $ADC$ is $60^\circ$ . What is the length of diagonal $\overline{AC}$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

13.5

(B)

(C)

15.5

(D)

(E)

18.5

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 사각형 $ABCD$ 에서 꼭짓점 $B$ 에서 만나는 두 변의 길이는 $\overline{AB} = \overline{BC} = 10$, 꼭짓점 $D$ 에서 만나는 두 변의 길이는 $\overline{CD} = \overline{DA} = 17$ 입니다. $D$ 에서의 각은 $\angle ADC = 60^\circ$ 입니다. 대각선 $\overline{AC}$ 의 길이를 구하세요.

주어진 것: $\overline{AB} = \overline{BC} = 10$ (꼭짓점 $B$ 에서 만나는 두 변); $\overline{CD} = \overline{DA} = 17$ (꼭짓점 $D$ 에서 만나는 두 변); $\angle ADC = 60^\circ$; 선택지: (A) $13.5$, (B) $14$, (C) $15.5$, (D) $17$, (E) $18.5$

구하는 것: 대각선 $\overline{AC}$ 의 길이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

도구 #1 (그림 그리기) 로 대각선 $\overline{AC}$ 를 그리면 사각형이 두 삼각형 $\triangle ABC$ 와 $\triangle ADC$ 로 갈라집니다. 쓸 만한 정보를 모두 가진 쪽은 $\triangle ADC$ 뿐입니다 — 두 변의 길이($DA = CD = 17$) 와 그 사이 각($60^\circ$) 이 한꺼번에 주어져 있죠. 꼭짓점 $B$ 쪽의 $10$ 들은 이 문제에서는 미끼입니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 사각형 문제 전체를 "$\triangle ADC$ 의 나머지 한 변 $AC$ 구하기" 라는 한 가지 부분 문제로 줄이고, 이등변 구조 + $60^\circ$ 꼭지각에서 세 각이 모두 $60^\circ$ 가 됨을 끌어내면 정삼각형이 되어 $AC = 17$ 이 별도 계산 없이 떨어집니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

사각형을 그리고 대각선 $\overline{AC}$ 를 그어 둡니다.
대각선이 $ABCD$ 를 두 삼각형 $\triangle ABC$ (세 변 $10$, $10$, $AC$) 와 $\triangle ADC$ (세 변 $17$, $17$, $AC$) 로 나눕니다.
주어진 각은 $\triangle ADC$ 안에 있으니, 풀어야 할 곳도 그 삼각형입니다.

$$\triangle ADC: \;\; DA = 17, \;\; CD = 17, \;\; \angle ADC = 60^\circ$$

💡 주어진 변과 각을 모두 담은 삼각형을 골라 집중하는 것은 4학년 "성질로 도형을 분류하기" 그대로의 사용입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.2 단계 2

$\triangle ADC$ 를 부분 문제로 잡습니다.
두 변이 같으므로($DA = CD = 17$) 이 삼각형은 이등변삼각형입니다.
그러면 같은 두 변의 대각인 $\angle DCA$ (대변 $DA$) 와 $\angle DAC$ (대변 $CD$) 의 크기도 같습니다.

$$DA = CD \;\Rightarrow\; \angle DCA = \angle DAC$$

💡 "같은 두 변의 대각의 크기는 같다" 는 4학년 이등변삼각형 사실의 가장 단순한 모습입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.5 단계 3

삼각형 세 각의 합을 씁니다.
$x = \angle DAC = \angle DCA$ 라 하면 $\triangle ADC$ 의 세 각의 합은 $180^\circ$.

$$x + x + 60 = 180 \;\Rightarrow\; 2x = 120 \;\Rightarrow\; x = 60$$

💡 "삼각형 세 각의 합 $= 180^\circ$" 는 8학년 "삼각형 내각 정리에 대한 비형식적 논의" 표준입니다.

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 4

$\triangle ADC$ 의 세 각이 모두 $60^\circ$ 이므로 등각삼각형, 따라서 정삼각형입니다.
세 변의 길이가 모두 같으니 $AC = DA = CD = 17$.

$$\angle ADC = \angle DAC = \angle DCA = 60^\circ \;\Rightarrow\; AC = 17 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 "등각이면 정삼각형" 을 알아보는 것은 4학년 평면도형 분류의 마무리입니다.

[1] #1 4.G.A.2 사각형을 그리고 대각선 $\overline{AC}$ 를 그어 둡니다. 대각선이 $ABCD$ 를 두 삼각형 $\triangle ABC$ (세 변

[2] #7 4.G.A.2 $\triangle ADC$ 를 부분 문제로 잡습니다. 두 변이 같으므로($DA = CD = 17$) 이 삼각형은 이등변삼각형입니다. 그러면 같

[3] #7 8.G.A.5 삼각형 세 각의 합을 씁니다. $x = \angle DAC = \angle DCA$ 라 하면 $\triangle ADC$ 의 세 각의 합은 $1

[4] #1 4.G.A.2 $\triangle ADC$ 의 세 각이 모두 $60^\circ$ 이므로 등각삼각형, 따라서 정삼각형입니다. 세 변의 길이가 모두 같으니 $AC

검토

합리성 확인: 답 $AC = 17$ 은 선택지에 있고, 정삼각형이라는 결론과 맞게 $DA = CD = 17$ 과 정확히 같습니다. 또한 볼록사각형에서 대각선은 인접한 두 변의 합보다 짧고($17 + 17 = 34$, $10 + 10 = 20$) 그 차보다 커야 하는데($17 - 10 = 7$) $17$ 은 그 사이에 편안하게 들어갑니다. 꼭짓점 $B$ 쪽의 $10$ 들이 끝까지 쓰이지 않은 점도 "이 문제는 정말 $\triangle ADC$ 하나만 보면 된다" 는 신호입니다.

대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인하기) 으로 선택지를 확인할 수도 있습니다. 코사인 법칙으로 $AC^2 = 17^2 + 17^2 - 2(17)(17)\cos 60^\circ = 289 + 289 - 289 = 289$, 따라서 $AC = 17$. 아이들 버전의 지름길은 같은 관찰을 법칙 없이 쓰는 것입니다 — 두 변이 같고 그 사이 각이 $60^\circ$ 라면 그 삼각형은 정삼각형이 될 수밖에 없으니 나머지 한 변도 똑같이 $17$, 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.2 선과 각의 성질에 따라 평면도형 분류하기 ($DA = CD$ 로부터 $\triangle ADC$ 가 이등변삼각형임을 알아내고, 세 각이 모두 $60^\circ$ 가 되자 정삼각형으로 분류해 $AC = 17$ 을 끌어내는 데 사용.)
8.G.A.5 삼각형 내각의 합 등에 관한 비형식적 논의 (삼각형 세 각의 합 $180^\circ$ 를 $x + x + 60 = 180$ 에 적용해 밑각 $x = 60^\circ$ 를 구하는 데 사용.)

⭐ 대각선 $\overline{AC}$ 는 두 삼각형의 공통 변이지만, 주어진 $17$, $17$, $60^\circ$ 는 한쪽 삼각형에만 모여 있어요. 꼭지각이 $60^\circ$ 인 이등변삼각형은 정삼각형이 될 수밖에 없으니, 나머지 한 변도 그대로 $17$ 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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