AMC 8 · 2000 · #21

학년 7 probabilitycounting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumerationfraction-arithmetic caseworksystematic-enumerationtree-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Keiko tosses one penny and Ephraim tosses two pennies. The probability that Ephraim gets the same number of heads that Keiko gets is

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{3}{8}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 케이코는 공정한 동전 $1$ 개를 던지고, 에프라임은 공정한 동전 $2$ 개를 던집니다. 에프라임이 나온 앞면 개수가 케이코의 앞면 개수와 같을 확률을 구하세요.

주어진 것: 케이코는 $1$ 번 던지므로 앞면 개수는 $0$ 또는 $1$; 에프라임은 $2$ 번 던지므로 앞면 개수는 $0$, $1$, $2$; 모든 동전은 공정하므로 길이 $3$ 의 H/T 수열 $2^3 = 8$ 가지가 모두 같은 확률; 선택지: (A) $\tfrac{1}{4}$, (B) $\tfrac{3}{8}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{3}{4}$

구하는 것: $P(\text{에프라임의 앞면 개수} = \text{케이코의 앞면 개수})$

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

세 동전을 합쳐도 같은 확률의 결과가 $8$ 가지뿐이라 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 전부 적어 일치 경우를 세는 게 가장 직관적입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 한 단계 더 깔끔합니다 — 케이코의 결과(앞면 $0$ 개 vs $1$ 개)로 경우를 나누고, 각 경우에 에프라임의 $4$ 결과 중 몇 개가 일치하는지 세면, 큰 나열 하나 대신 작은 나열 둘로 끝납니다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 1

표본공간 크기를 셉니다.
독립인 공정한 동전 $3$ 개(케이코의 $1$ 개 + 에프라임의 $2$ 개)이므로 길이 $3$ 의 H/T 수열은 $2 \times 2 \times 2 = 8$ 가지이고, 각각 확률 $\tfrac{1}{8}$.

$$|\text{표본공간}| = 2^3 = 8$$

💡 독립 시행의 복합 사건을 나열하는 것은 7학년 표준 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

케이코의 결과로 경우를 나눕니다.
케이코는 앞면 $0$ 개 또는 $1$ 개 두 가지.
첫 번째 경우의 일치 조건은 "에프라임도 $0$ 개", 두 번째 경우는 "에프라임도 $1$ 개".
두 경우는 서로 겹치지 않습니다.

$$P(\text{일치}) = P(K\!=\!0,\,E\!=\!0) + P(K\!=\!1,\,E\!=\!1)$$

💡 케이코의 두 가지 결과로 사건을 쪼개면 어려운 카운트 하나가 쉬운 카운트 둘로 바뀝니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

경우 1: 케이코 $0$ 개, 에프라임 $0$ 개.
케이코는 $1$ 가지(T), 에프라임은 $1$ 가지(TT).
곱하면 $1 \cdot 1 = 1$ — 즉 수열 $TTT$ 하나.

$$\text{경우 1 수} = 1 \cdot 1 = 1$$

💡 모두 뒷면이어야 하므로 가능한 수열은 전부 T 인 하나뿐.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

경우 2: 케이코 $1$ 개, 에프라임 $1$ 개.
케이코는 $1$ 가지(H).
에프라임의 앞면 $1$ 개는 두 자리 중 어디든 올 수 있어 HT 또는 TH, 즉 $2$ 가지.
곱하면 $1 \cdot 2 = 2$ — 수열 $HHT$ 와 $HTH$.

$$\text{경우 2 수} = 1 \cdot 2 = 2$$

💡 에프라임의 두 자리 중 어느 자리가 앞면인지 고르는 건 $\binom{2}{1} = 2$ 와 같은 "빠짐없이 나열하기".

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 5

두 경우 수를 더한 뒤 표본공간 크기로 나눕니다.
일치 수열은 $1 + 2 = 3$ 가지, 전체는 같은 확률의 $8$ 가지.

$$P(\text{일치}) = \dfrac{1 + 2}{8} = \dfrac{3}{8} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 확률 $=$ 유리한 경우의 수 $\div$ 전체 같은 확률 경우의 수 — 7학년 균등 모형 공식.

[1] #2 7.SP.C.8 표본공간 크기를 셉니다. 독립인 공정한 동전 $3$ 개(케이코의 $1$ 개 + 에프라임의 $2$ 개)이므로 길이 $3$ 의 H/T 수열은 $2

[2] #7 7.SP.C.8 케이코의 결과로 경우를 나눕니다. 케이코는 앞면 $0$ 개 또는 $1$ 개 두 가지. 첫 번째 경우의 일치 조건은 "에프라임도 $0$ 개", 두

[3] #2 7.SP.C.8 경우 1: 케이코 $0$ 개, 에프라임 $0$ 개. 케이코는 $1$ 가지(T), 에프라임은 $1$ 가지(TT). 곱하면 $1 \cdot 1 =

[4] #2 7.SP.C.8 경우 2: 케이코 $1$ 개, 에프라임 $1$ 개. 케이코는 $1$ 가지(H). 에프라임의 앞면 $1$ 개는 두 자리 중 어디든 올 수 있어 H

[5] #2 7.SP.C.7 두 경우 수를 더한 뒤 표본공간 크기로 나눕니다. 일치 수열은 $1 + 2 = 3$ 가지, 전체는 같은 확률의 $8$ 가지.

검토

합리성 확인: $8$ 개 수열을 모두 적어 확인합니다(케이코 먼저, 에프라임 두 개): TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH. 앞면 개수를 비교하면 일치하는 수열은 TTT ($0\!=\!0$), HTH ($1\!=\!1$), HHT ($1\!=\!1$) — 정확히 $8$ 중 $3$ 가지이므로 $P = \tfrac{3}{8}$. 크기 감각으로도 맞습니다: 일치가 가장 가능성 있는 단일 사건이지만 절반엔 못 미치므로 $\tfrac{1}{4}$ 와 $\tfrac{1}{2}$ 사이여야 하고, $\tfrac{3}{8} = 0.375$ 가 그 범위에 들어갑니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — 전확률 법칙 사용. 케이코와 에프라임이 정확히 $n$ 개의 앞면을 얻을 확률을 $K(n)$, $E(n)$ 이라 두면 $K(0) = K(1) = \tfrac{1}{2}$, $E(0) = \tfrac{1}{4}$, $E(1) = \tfrac{1}{2}$, $E(2) = \tfrac{1}{4}$. 두 사람은 독립이므로 $P(\text{일치}) = K(0)E(0) + K(1)E(1) = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{8} + \tfrac{2}{8} = \tfrac{3}{8}$. 같은 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모형을 만들어 사건의 확률을 구하기 (길이 $3$ 인 H/T 수열 $8$ 가지를 모두 같은 확률로 보고 확률 $=$ 유리한 경우 $\div\, 8$ 로 계산.)
7.SP.C.8 조직된 목록·표·수형도·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (케이코의 결과로 경우를 나누고 에프라임의 일치 수열을 세어($0$ 개일 때 $1$, $1$ 개일 때 $2$) 유리한 경우 $3$ 을 얻는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (확률을 유리한 경우와 전체 경우의 비 $\tfrac{3}{8}$ 로 나타내는 데 사용.)

⭐ 동전 $3$ 개의 결과는 $8$ 가지뿐 — 케이코의 결과로 경우를 나누고 에프라임의 일치 수열을 세면 $1 + 2 = 3$, 즉 $\tfrac{3}{8}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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