AMC 8 · 2002 · #21
학년 7 probabilitycounting문제
Harold tosses a coin four times. The probability that he gets at least as many heads as tails is
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AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 해럴드가 공정한 동전을 $4$ 번 던집니다. 앞면 수가 뒷면 수 이상이 될 확률을 구하세요.
주어진 것: 공정한 동전을 $4$ 번 던지므로 $2^4 = 16$ 가지 결과 순서가 모두 동등하게 일어난다; $P(\text{앞면 수} \geq \text{뒷면 수})$ 를 구하는 문제다; 선택지: (A) $\tfrac{5}{16}$, (B) $\tfrac{3}{8}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{5}{8}$, (E) $\tfrac{11}{16}$
구하는 것: $4$ 번 던졌을 때 앞면 수 $\geq$ 뒷면 수가 될 확률
이해
문제 재정리: 해럴드가 공정한 동전을 $4$ 번 던집니다. 앞면 수가 뒷면 수 이상이 될 확률을 구하세요.
주어진 것: 공정한 동전을 $4$ 번 던지므로 $2^4 = 16$ 가지 결과 순서가 모두 동등하게 일어난다; $P(\text{앞면 수} \geq \text{뒷면 수})$ 를 구하는 문제다; 선택지: (A) $\tfrac{5}{16}$, (B) $\tfrac{3}{8}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{5}{8}$, (E) $\tfrac{11}{16}$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기 (여집합 세기)
$4$ 번 던졌을 때 '앞면 $\geq$ 뒷면' 조건은 앞면 수에 따라 깔끔하게 갈립니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사건을 앞면이 정확히 $2$, $3$, $4$ 인 세 가지 서로소 경우로 나누고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 경우에서 $4$ 자리 중 어디가 앞면인지를 골라 셉니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 빠른 점검에 좋아요. 대칭에 의해 '앞면이 더 많다'와 '뒷면이 더 많다'는 같은 확률이므로 $1$ 에서 '정확히 동수'만 빼면 됩니다.
실행 — 정답: E
7.SP.C.7 단계 1 - 조건을 더 깔끔하게 바꿉니다.
- $4$ 번 던지면 앞면 $+$ 뒷면 $= 4$ 이므로 '앞면 $\geq$ 뒷면'은 '앞면 $\geq 2$', 즉 앞면이 정확히 $2$, $3$, $4$ 번인 경우와 같습니다.
- 이 세 경우는 서로 겹치지 않습니다.
💡 사건을 앞면 $2,\,3,\,4$ 의 서로소 경우로 쪼개는 것은 7학년 '균등 확률 모형 세우기' 그대로입니다.
7.SP.C.8 단계 2 - 전체 결과 순서의 수를 셉니다.
- 각 던지기는 H 또는 T, $4$ 번의 던지기는 서로 독립이므로 표본공간의 크기는 $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ 입니다.
💡 복합사건의 결과를 빠짐없이 나열하는 것은 둘 이상 독립 시행의 7학년 표준이에요.
7.SP.C.8 단계 3 - 앞면이 정확히 $2$ 번 나오는 순서의 수를 셉니다.
- $4$ 자리 중 어느 $2$ 자리가 앞면인지 고르면 나머지는 뒷면.
- 순서대로 나열하면 (위치 $1,2 \,/\, 1,3 \,/\, 1,4 \,/\, 2,3 \,/\, 2,4 \,/\, 3,4$) 총 $\binom{4}{2} = 6$ 가지입니다.
💡 $4$ 자리 중 $2$ 자리를 앞면으로 고르는 것은 7학년 복합사건 셈에서 쓰는 빠짐없는 나열과 같은 방식입니다.
7.SP.C.8 단계 4 - 앞면이 정확히 $3$ 번, $4$ 번인 경우도 같은 방식으로 셉니다.
- 앞면 $3$ 번은 뒷면이 들어갈 $1$ 자리를 고르면 되므로 $\binom{4}{1} = 4$ 가지(THHH, HTHH, HHTH, HHHT).
- 앞면 $4$ 번은 HHHH 하나, 즉 $\binom{4}{4} = 1$ 가지입니다.
💡 같은 나열 규칙을 나머지 두 경우에도 적용 — 뒷면이 들어갈 자리를 고르면 됩니다.
7.SP.C.7 단계 5 - 세 경우의 수를 더해 표본공간 크기로 나눕니다.
- 세 경우가 서로소이므로 유리한 결과 수는 $6 + 4 + 1 = 11$ 이고, $16$ 가지 결과 순서가 모두 동등하게 일어납니다.
💡 확률 $=$ 유리한 결과 수 $\div$ 전체 동등 결과 수 — 7학년 균등 모형 공식 그대로입니다.
7.SP.C.7 조건을 더 깔끔하게 바꿉니다. $4$ 번 던지면 앞면 $+$ 뒷면 $= 4$ 이므로 '앞면 $\geq$ 뒷면'은 '앞면 $\geq 2$', 즉 7.SP.C.8 전체 결과 순서의 수를 셉니다. 각 던지기는 H 또는 T, $4$ 번의 던지기는 서로 독립이므로 표본공간의 크기는 $2 \times 2 \tim 7.SP.C.8 앞면이 정확히 $2$ 번 나오는 순서의 수를 셉니다. $4$ 자리 중 어느 $2$ 자리가 앞면인지 고르면 나머지는 뒷면. 순서대로 나열하면 (위 7.SP.C.8 앞면이 정확히 $3$ 번, $4$ 번인 경우도 같은 방식으로 셉니다. 앞면 $3$ 번은 뒷면이 들어갈 $1$ 자리를 고르면 되므로 $\binom 7.SP.C.7 세 경우의 수를 더해 표본공간 크기로 나눕니다. 세 경우가 서로소이므로 유리한 결과 수는 $6 + 4 + 1 = 11$ 이고, $16$ 가지 결 검토
합리성 확인: $11$ 이라는 셈을 다른 방향에서 확인합니다. 전체 결과 순서는 $16$ 가지. 뒷면이 앞면보다 정말로 많은 경우는 앞면 $0$ 번($\binom{4}{0} = 1$, TTTT)과 앞면 $1$ 번($\binom{4}{1} = 4$, HTTT, THTT, TTHT, TTTH)으로 총 $5$ 가지입니다. 따라서 앞면 $\geq$ 뒷면인 경우는 $16 - 5 = 11$ 가지 → $\tfrac{11}{16}$, 답 (E) 와 일치합니다. 직관적으로도 절반 정도는 동수이거나 앞면 우세이고, 거기에 '동수까지 우리 편으로 셈'에서 약간의 보너스가 붙으므로 확률이 $\tfrac{1}{2}$ 보다 살짝 크게 나오는 것이 맞고, $\tfrac{11}{16} = 0.6875$ 가 정확히 그 위치입니다.
대안 접근: 도구 #16(여집합 세기)을 대칭으로 활용합니다. $p$ = P(앞면이 더 많다), $q$ = P(뒷면이 더 많다), $t$ = P(앞면이 정확히 $2$). 공정한 동전의 H $\leftrightarrow$ T 대칭에 의해 $p = q$ 이고 $p + q + t = 1$. 나열에서 $t = \tfrac{6}{16} = \tfrac{3}{8}$ 이므로 $p = q = \tfrac{1}{2}\bigl(1 - \tfrac{3}{8}\bigr) = \tfrac{5}{16}$. 구하는 사건 '앞면 $\geq$ 뒷면' $= p + t = \tfrac{5}{16} + \tfrac{6}{16} = \tfrac{11}{16}$. 답 (E) 동일.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.7확률 모형을 세우고 이를 이용해 사건의 확률을 구하기; 모형의 확률을 실제 관측 빈도와 비교하기 (길이 $4$ 의 H/T 순서 $16$ 가지를 모두 동등하게 보고, 확률 $=$ 유리한 결과 수 $\div 16$ 로 계산하는 데 사용.)7.SP.C.8조직적 목록, 표, 수형도, 시뮬레이션을 이용해 복합사건의 확률 구하기 ($16$ 가지 순서를 앞면 수에 따라 정리하고 $\binom{4}{2} = 6$, $\binom{4}{3} = 4$, $\binom{4}{4} = 1$ 을 더해 유리한 결과 $11$ 을 얻는 데 사용.)6.RP.A.3비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 해결하기 (확률을 유리한 결과 $:$ 전체 결과 $= \tfrac{11}{16}$ 의 비로 나타내는 데 사용.)
⭐ $16$ 가지 결과 순서를 '앞면 수'로 묶어 보면, 앞면 $\geq$ 뒷면 사건은 $\binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4} = 11$ 가지 — 7학년 조직적 나열 한 번으로 풀립니다.
⭐ $16$ 가지 결과 순서를 '앞면 수'로 묶어 보면, 앞면 $\geq$ 뒷면 사건은 $\binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4} = 11$ 가지 — 7학년 조직적 나열 한 번으로 풀립니다.
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