AMC 8 · 2016 · #23

학년 7 geometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

angle-sum-triangleline-symmetryspatial-visualization identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: angle-sum-triangleline-symmetry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

점 $A$ 와 $B$ 를 중심으로 하는 두 합동인 원이 각각 상대 원의 중심을 지납니다. $A$ 와 $B$ 를 모두 지나는 직선을 연장하면 두 원과 점 $C$ , $D$ 에서 만납니다. 두 원은 서로 다른 두 점에서 교차하며, 그중 하나가 $E$ 입니다. $\angle CED$ 의 크기는 몇 도일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

105

(C)

120

(D)

135

(E)

150

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 같은 두 원의 중심을 각각 $A$, $B$라 합시다. 두 원은 서로의 중심을 지나도록 겹쳐져 있습니다. $A$와 $B$를 지나는 직선을 양쪽으로 연장해서 두 원과 만나는 먼 점을 각각 $C$($A$ 너머)와 $D$($B$ 너머)라 하고, 두 원이 만나는 두 교점 중 하나를 $E$라 합시다. 이때 $\angle CED$의 크기를 구하세요.

주어진 것: 반지름이 $r$로 같은 두 원, 중심은 $A$와 $B$; 원 $A$가 $B$를 지나고 원 $B$가 $A$를 지나므로 $AB = r$; $C$는 원 $A$ 위에 있고 직선 $AB$ 위에 있으며 $A$가 $C$와 $B$ 사이에 위치 — $CA = r$, $CB = 2r$ (원 $A$의 지름); $D$는 원 $B$ 위에 있고 직선 $AB$ 위에 있으며 $B$가 $A$와 $D$ 사이에 위치 — $BD = r$, $AD = 2r$ (원 $B$의 지름); $E$는 두 원의 교점 중 하나이므로 $AE = BE = r$; 선택지: (A) $90$, (B) $105$, (C) $120$, (D) $135$, (E) $150$ (도)

구하는 것: $E$에서 반직선 $EC$와 $ED$가 이루는 각 $\angle CED$의 크기(도)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

문제에 그림이 없으니 첫 단계는 도구 #1(그림 그리기) 입니다. 겹친 두 원, 중심 $A$와 $B$, 그 둘을 지나는 직선, 먼 점 $C$와 $D$, 그리고 교점 $E$ 하나를 그려 놓고 $AE$, $BE$, $AB$ 를 모두 그어 보면 길이가 모두 반지름 $r$ 로 같다는 사실이 한눈에 보입니다. 그림 안에 정보가 많으니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 $\angle CED$ 를 세 조각 $\angle CEA$, $\angle AEB$, $\angle BED$ 로 나누어, 각각 작은 삼각형 $\triangle CAE$, $\triangle ABE$, $\triangle BDE$ 한 개씩만 보고 풀면 됩니다. 세 조각을 더하면 답이 나옵니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

그림을 그립니다 (도구 #1).
반지름이 같은 두 원을 서로의 중심을 지나도록 겹쳐 그리고, 두 중심을 지나는 직선이 원과 만나는 먼 점을 $C$($A$ 너머)와 $D$($B$ 너머) 로 표시합니다.
두 원의 교점 중 하나를 $E$ 라 정한 뒤, 세 선분 $AE$, $BE$, $AB$ 를 그어 봅니다.
가운데에 작은 삼각형 $\triangle ABE$, 좌우에 큰 삼각형 $\triangle CAE$ 와 $\triangle BDE$ 가 모두 꼭짓점 $E$ 를 공유하며 나타납니다.

$$AB = r,\ AE = r,\ BE = r,\ CA = r,\ BD = r$$

💡 문제 속 점·선·각을 직접 그려 보는 것은 4학년 "점, 선, 반직선, 각을 그린다" 표준 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.B.4 단계 2

가운데 삼각형 $\triangle ABE$ 를 봅니다.
세 변 $AB, AE, BE$ 가 모두 $r$ 로 같으므로 $\triangle ABE$ 는 정삼각형이고, 내각이 모두 $60^\circ$ 입니다.
특히 $\angle AEB = 60^\circ$ 이고 $\angle EAB = 60^\circ$ 입니다.

$$AB = AE = BE = r \;\Rightarrow\; \triangle ABE \text{ 정삼각형} \;\Rightarrow\; \angle AEB = \angle EAB = 60^\circ$$

💡 세 변이 같은 삼각형을 정삼각형으로 분류하는 것은 5학년 "평면도형을 성질에 따라 분류한다" 단계입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 3

왼쪽 삼각형 $\triangle CAE$ 를 풉니다.
$C, A, B$ 가 한 직선 위에 있으므로 $\angle CAE$ 와 $\angle EAB$ 의 합은 $180^\circ$ 입니다.
따라서 $\angle CAE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ 입니다.
또 $CA$ 와 $AE$ 는 모두 원 $A$ 의 반지름이라 $CA = AE = r$ 이고, $\triangle CAE$ 는 이등변삼각형이라 두 밑각 $\angle ACE$ 와 $\angle AEC$ 가 같습니다.
삼각형 내각의 합은 $180^\circ$ 입니다.

$$2 \cdot \angle AEC + 120^\circ = 180^\circ \;\Rightarrow\; \angle AEC = 30^\circ$$

💡 직선 위 보각으로 한 각을 구하고 삼각형 내각의 합을 쓰는 것은 7학년 "보각·여각·맞꼭지각으로 미지각 구하기" 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 4

오른쪽 삼각형 $\triangle BDE$ 는 좌우 대칭으로 같은 방법을 씁니다.
$A, B, D$ 가 한 직선 위에 있으므로 $\angle EBD = 180^\circ - \angle EBA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ 입니다.
그리고 $BD = BE = r$ (둘 다 원 $B$ 의 반지름) 이므로 $\triangle BDE$ 는 이등변삼각형이고 $\angle BDE = \angle BED$ 입니다.

$$2 \cdot \angle BED + 120^\circ = 180^\circ \;\Rightarrow\; \angle BED = 30^\circ$$

💡 대칭인 반대쪽에 같은 "보각 + 이등변삼각형" 추론을 그대로 반복해 보면 작은 문제로 쪼개는 습관이 단단해집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.C.7 단계 5

세 조각을 더해 $\angle CED$ 를 조립합니다.
$E$ 에서 반직선 $EC, EA, EB, ED$ 가 차례로 펼쳐지므로 $\angle CED = \angle CEA + \angle AEB + \angle BED = 30^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ — 정답은 (C) 입니다.

$$\angle CED = 30^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 120^\circ \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $\angle CED$ 를 겹치지 않는 인접 각들의 합으로 보는 것은 4학년 "각의 크기는 더할 수 있다" 개념입니다.

[1] #1 4.G.A.1 그림을 그립니다 (도구 #1). 반지름이 같은 두 원을 서로의 중심을 지나도록 겹쳐 그리고, 두 중심을 지나는 직선이 원과 만나는 먼 점을 $C

[2] #7 5.G.B.4 가운데 삼각형 $\triangle ABE$ 를 봅니다. 세 변 $AB, AE, BE$ 가 모두 $r$ 로 같으므로 $\triangle ABE$

[3] #7 7.G.B.5 왼쪽 삼각형 $\triangle CAE$ 를 풉니다. $C, A, B$ 가 한 직선 위에 있으므로 $\angle CAE$ 와 $\angle EA

[4] #7 7.G.B.5 오른쪽 삼각형 $\triangle BDE$ 는 좌우 대칭으로 같은 방법을 씁니다. $A, B, D$ 가 한 직선 위에 있으므로 $\angle E

[5] #7 4.MD.C.7 세 조각을 더해 $\angle CED$ 를 조립합니다. $E$ 에서 반직선 $EC, EA, EB, ED$ 가 차례로 펼쳐지므로 $\angle C

검토

합리성 확인: 답 $120^\circ$ 는 $90^\circ$ 와 $180^\circ$ 사이의 값으로, 그림과 잘 맞습니다. $E$ 는 직선 $CD$ 위쪽에 있고, $EC$ 와 $ED$ 는 직각보다 넓고 평각보다 좁게 벌어집니다. 다른 길로도 확인할 수 있습니다 — $CB$ 는 원 $A$ 의 지름($2r$) 이고 $E$ 가 원 $A$ 위에 있으므로 탈레스 정리에 의해 $\angle CEB = 90^\circ$ 입니다. 여기에 이미 구한 $\angle BED = 30^\circ$ 를 더하면 $\angle CED = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ 로, (C) 가 한 번 더 확인됩니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — 좌표를 도입합니다. $A = (0, 0)$, $B = (1, 0)$, $r = 1$ 로 두면 $C = (-1, 0)$, $D = (2, 0)$ 입니다. 두 원의 교점은 $x^2 + y^2 = 1$ 과 $(x-1)^2 + y^2 = 1$ 을 동시에 만족하므로 $x = \tfrac{1}{2}$, 즉 $E = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2})$ 입니다. 벡터 $\vec{EC} = (-\tfrac{3}{2}, -\tfrac{\sqrt{3}}{2})$, $\vec{ED} = (\tfrac{3}{2}, -\tfrac{\sqrt{3}}{2})$ 의 내적은 $-\tfrac{9}{4} + \tfrac{3}{4} = -\tfrac{3}{2}$ 이고 크기는 둘 다 $\sqrt{3}$ 이므로 $\cos(\angle CED) = -\tfrac{3/2}{3} = -\tfrac{1}{2}$, 따라서 $\angle CED = 120^\circ$ — 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.G.A.1 점, 선, 선분, 반직선, 각, 수직선과 평행선을 그린다 (두 원, 중심 $A, B$, 공유 직선과 그 연장선 위의 $C, D$, 그리고 세 삼각형을 만들어 주는 반지름 $AE, BE$ 를 직접 그리는 데 사용.)
4.MD.C.7 각의 크기는 더할 수 있음을 알고, 각을 겹치지 않는 부분들로 분해한다 ($\angle CED = \angle CEA + \angle AEB + \angle BED$ 으로 분해해 $30^\circ + 60^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ 로 합산.)
5.G.B.4 평면도형을 성질을 기준으로 위계적으로 분류한다 ($\triangle ABE$ 를 정삼각형(세 변이 같음), $\triangle CAE$ 와 $\triangle BDE$ 를 이등변삼각형(두 반지름이 같음) 으로 분류.)
7.G.B.5 보각·여각·맞꼭지각·이웃각의 성질로 미지각을 구한다 ($A$ (또는 $B$) 의 $60^\circ$ 각을 직선 위 보각인 $120^\circ$ 로 바꿔 $\triangle CAE$ (또는 $\triangle BDE$) 안에 넣은 뒤, 삼각형 내각의 합으로 $E$ 쪽 밑각 $30^\circ$ 를 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 7학년 때 배우는 "직선 위 두 각의 합은 $180^\circ$, 삼각형 내각의 합도 $180^\circ$" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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