AMC 8 · 2001 · #23
학년 8 geometry-2dcounting문제
Points R, S and T are vertices of an equilateral triangle, and points X, Y and Z are midpoints of its sides. How many noncongruent triangles can be
drawn using any three of these six points as vertices?
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AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정삼각형의 세 꼭짓점이 $R$, $S$, $T$ 이고, 세 변의 중점이 각각 $X$, $Y$, $Z$ 입니다 — 모두 여섯 개의 점입니다. 이 여섯 점 중 세 점을 골라 삼각형을 만들 때, 서로 합동이 아닌 (그리고 일직선이 아닌) 삼각형은 몇 개나 만들 수 있을까요?
주어진 것: $R$, $S$, $T$ 는 한 정삼각형의 세 꼭짓점이다; $X$ 는 $RT$ 의 중점, $Y$ 는 $RS$ 의 중점, $Z$ 는 $ST$ 의 중점이다; 두 삼각형의 세 변의 길이가 같으면 같은 삼각형으로 센다 (합동 = 한 개); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $20$
구하는 것: 여섯 점 중 세 점으로 만들어지는 서로 합동이 아닌 (그리고 변이 0인 일직선 경우를 뺀) 삼각형의 개수
이해
문제 재정리: 정삼각형의 세 꼭짓점이 $R$, $S$, $T$ 이고, 세 변의 중점이 각각 $X$, $Y$, $Z$ 입니다 — 모두 여섯 개의 점입니다. 이 여섯 점 중 세 점을 골라 삼각형을 만들 때, 서로 합동이 아닌 (그리고 일직선이 아닌) 삼각형은 몇 개나 만들 수 있을까요?
주어진 것: $R$, $S$, $T$ 는 한 정삼각형의 세 꼭짓점이다; $X$ 는 $RT$ 의 중점, $Y$ 는 $RS$ 의 중점, $Z$ 는 $ST$ 의 중점이다; 두 삼각형의 세 변의 길이가 같으면 같은 삼각형으로 센다 (합동 = 한 개); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $20$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기
여섯 점 사이의 거리는 종류가 몇 개 안 되고, 삼각형은 세 변의 길이로 합동까지 결정됩니다. 그래서 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 가 핵심입니다 — 가능한 거리들을 먼저 다 적고, 실제로 등장하는 변 길이 묶음을 종류별로 세면 됩니다. 도구 #1 (그림 그리기) 로 주어진 그림에 모든 거리를 적어 두면 피타고라스 한 번이면 모든 변 길이를 읽어낼 수 있어요. 도구 #16 (관점 바꾸기 — 여사건 세기) 는 정리에 유용합니다: $\binom{6}{3} = 20$ 가지 세 점 조합 중 일직선인 세 점 $3$ 가지를 빼면 실제 삼각형은 $17$ 개이고, 그것들을 합동 종류로 묶습니다.
실행 — 정답: D
4.G.A.2 단계 1 - 계산이 편한 변 길이를 정하고 그림에 모든 거리를 적습니다.
- 큰 정삼각형 $RST$ 의 한 변을 $2$ 로 둡니다.
- 중점들은 각 변을 반으로 나누므로, "짧은" 선분 (꼭짓점 → 이웃 중점, 또는 중점 → 중점) 은 모두 길이 $1$ 입니다.
- 가운데 중점삼각형 $XYZ$ 도 한 변 $1$ 인 정삼각형이에요.
💡 거리들을 그림에 적어 두면 기하 문제가 "분류 문제" 로 바뀝니다. 우리가 셀 모든 삼각형은 길이 $1$, $\sqrt{3}$, $2$ 짜리 변으로만 이루어집니다 — 그 외엔 없어요.
8.G.B.7 단계 2 - 남은 한 길이를 구합니다 — 꼭짓점에서 마주 보는 변의 중점까지.
- 대칭에 의해 $S$ 에서 $X$ 로 가는 선분은 큰 정삼각형의 높이입니다.
- 직각삼각형 $RXS$ 에서 두 변이 $RX = 1$ 과 $XS$, 빗변이 $RS = 2$ 이므로 피타고라스 정리로 $XS$ 를 구할 수 있어요.
💡 꼭짓점에서 마주 보는 변 중점까지의 선분은 한 변 $2$ 인 정삼각형의 높이로, 잘 알려진 $30$-$60$-$90$ 삼각형의 긴 변 $\sqrt{3}$ 이에요.
4.G.A.2 단계 3 - 여섯 점에서 세 점을 고르는 경우의 수 $\binom{6}{3} = 20$ 가지에서 일직선인 경우 (삼각형이 안 되는 경우) 를 뺍니다.
- 큰 삼각형의 각 변 위에는 우리 점이 세 개씩 있고 (두 꼭짓점 + 그 사이 중점), 이 셋은 일직선입니다: $\{R,X,T\}$, $\{R,Y,S\}$, $\{S,Z,T\}$.
- 일직선 조합이 $3$ 개이므로 실제 삼각형은 $20 - 3 = 17$ 개입니다.
💡 삼각형을 직접 다 세는 것보다 "나쁜 경우" (일직선) 를 빼는 것이 빠릅니다. 다음 단계에서 $17$ 개를 합동 종류로 나눠 볼 거예요.
4.G.A.2 단계 4 - $17$ 개 삼각형을 변 길이 묶음으로 분류합니다.
- 모든 삼각형의 변은 $1$, $\sqrt{3}$, $2$ 중 하나이므로 종류는 네 가지뿐이에요.
- 가장 큰 변부터 차례대로 살펴봅시다.
💡 SSS 합동에 따라 세 변 길이가 같은 두 삼각형은 합동입니다. 그러므로 합동 종류의 개수는 "실제로 등장하는 변 길이 묶음" 의 개수와 같아요.
8.G.A.2 단계 5 - 각 종류가 정말로 등장하는지 확인하고, 합이 $17$ 인지 검산합니다.
- 종류 1 은 큰 삼각형 $RST$ 자체 ($1$ 개).
- 종류 2 는 작은 정삼각형들 — 중점삼각형 $XYZ$ 와 세 모서리 조각 $SYZ$, $RXY$, $TXZ$ ($4$ 개).
- 종류 3 은 변 $(1, \sqrt{3}, 2)$ 인 직각삼각형으로, 한 꼭짓점 + 이웃 변의 중점 + 마주 보는 꼭짓점 형태 (예: $RXS$, $\sqrt{3}$ 변의 양 끝을 어떻게 잡느냐에 따라 $6$ 개).
- 종류 4 는 변 $(1, 1, \sqrt{3})$ 인 이등변 둔각삼각형으로, 한 꼭짓점 + 그 꼭짓점에 인접한 두 중점 + "한 중점에서 마주 보는 꼭짓점까지" 형태 (예: $SXY$ — $SX = \sqrt{3}$, $SY = 1$, $XY = 1$).
- 역시 $6$ 개.
💡 $17$ 개 삼각형이 정확히 $4$ 가지 변 묶음으로 나뉘고 총합도 맞으니, 빠뜨린 종류도 중복 센 종류도 없어요.
8.G.A.2 단계 6 답을 읽습니다: 합동 종류의 수 = 서로 다른 변 길이 묶음의 수 = $4$.
💡 변 길이 묶음 $4$ 가지와 일치하는 선택지는 (D) 뿐입니다.
4.G.A.2 계산이 편한 변 길이를 정하고 그림에 모든 거리를 적습니다. 큰 정삼각형 $RST$ 의 한 변을 $2$ 로 둡니다. 중점들은 각 변을 반으로 나 8.G.B.7 남은 한 길이를 구합니다 — 꼭짓점에서 마주 보는 변의 중점까지. 대칭에 의해 $S$ 에서 $X$ 로 가는 선분은 큰 정삼각형의 높이입니다. 직 4.G.A.2 여섯 점에서 세 점을 고르는 경우의 수 $\binom{6}{3} = 20$ 가지에서 일직선인 경우 (삼각형이 안 되는 경우) 를 뺍니다. 큰 삼 4.G.A.2 $17$ 개 삼각형을 변 길이 묶음으로 분류합니다. 모든 삼각형의 변은 $1$, $\sqrt{3}$, $2$ 중 하나이므로 종류는 네 가지뿐이에 8.G.A.2 각 종류가 정말로 등장하는지 확인하고, 합이 $17$ 인지 검산합니다. 종류 1 은 큰 삼각형 $RST$ 자체 ($1$ 개). 종류 2 는 작은 8.G.A.2 답을 읽습니다: 합동 종류의 수 = 서로 다른 변 길이 묶음의 수 = $4$. 검토
합리성 확인: 두 가지 짧은 검산. 첫째, 네 변 묶음 $(2,2,2)$, $(1,1,1)$, $(1,\sqrt{3},2)$, $(1,1,\sqrt{3})$ 은 누가 봐도 서로 다른 묶음이므로 어떤 두 종류도 합쳐지지 않습니다. 둘째, 삼각부등식을 모두 만족합니다: $1+1 > 1$, $1+\sqrt{3} > 2$ ($\sqrt{3} \approx 1.73$ 이므로 $1+\sqrt{3} \approx 2.73 > 2$), $1+1 > \sqrt{3}$ ($2 > 1.73$). 네 종류 모두 실제로 존재합니다. 또 선택지 (E) $20$ 은 "세 점 고르는 모든 경우의 수" 일 뿐이라서 일직선과 합동을 모두 무시한 함정입니다. 정답 (D) $4$ 가 우리 분류와 정확히 맞아요.
대안 접근: 도구 #16 (관점 바꾸기): $17$ 개 삼각형을 일일이 묶지 않고 그림의 $3$ 회 대칭을 활용합니다. 한 꼭짓점, 예를 들어 $S$ 를 고정하고 $S$ 를 포함하는 삼각형만 봅니다 — 대칭에 의해 모든 합동 종류에는 $S$ 를 포함하는 대표 삼각형이 하나는 있습니다. $S$ 에서 갈 수 있는 거리는 $R, T$ 까지 $2$, $Y, Z$ 까지 $1$, $X$ 까지 $\sqrt{3}$. 그러면 $SRT$ → $(2,2,2)$, $SYZ$ → $(1,1,1)$, $SRX$ → $(1,\sqrt{3},2)$, $SYX$ → $(1,1,\sqrt{3})$ 의 네 가지가 모든 합동 종류를 덮고, 서로 합동이 아닙니다. 다시 $4$ 종류, (D) 확정.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.G.B.7직각삼각형에서 피타고라스 정리를 이용해 모르는 변의 길이를 구하기 (꼭짓점에서 마주 보는 변의 중점까지의 길이 ($\sqrt{3}$, 큰 삼각형의 한 변이 $2$ 일 때) 를 빗변 $2$, 다른 한 변 $1$ 인 직각삼각형의 한 변으로 보고 구하는 데 사용.)8.G.A.2회전·반사·평행이동의 연속으로 한 도형이 다른 도형이 될 수 있으면 두 도형은 합동임을 이해하기 (세 변 길이가 같은 두 삼각형을 같은 삼각형 (SSS 합동) 으로 보고, $17$ 개 실제 삼각형을 합동 종류로 묶는 데 사용.)4.G.A.2평행·수직 선분이나 특정 각의 유무를 보고 평면도형을 분류하기 (삼각형 포함) ($17$ 개 삼각형을 변 길이 묶음 $(2,2,2)$, $(1,1,1)$, $(1,\sqrt{3},2)$, $(1,1,\sqrt{3})$ 네 가지로 분류하는 데 사용.)
⭐ 먼저 그림에 모든 거리를 적으면 등장하는 길이는 $1$, $\sqrt{3}$, $2$ 뿐이에요. 세 변의 길이가 같은 삼각형은 같은 삼각형이므로, 답은 서로 다른 "변 길이 묶음" 의 개수 — $(2,2,2)$, $(1,1,1)$, $(1,\sqrt{3},2)$, $(1,1,\sqrt{3})$, 즉 $\textbf{4}$ 개로 (D).
⭐ 먼저 그림에 모든 거리를 적으면 등장하는 길이는 $1$, $\sqrt{3}$, $2$ 뿐이에요. 세 변의 길이가 같은 삼각형은 같은 삼각형이므로, 답은 서로 다른 "변 길이 묶음" 의 개수 — $(2,2,2)$, $(1,1,1)$, $(1,\sqrt{3},2)$, $(1,1,\sqrt{3})$, 즉 $\textbf{4}$ 개로 (D).
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