AMC 8 · 2009 · #20
학년 8 geometry-2d문제
How many non-congruent triangles have vertices at three of the eight points in the array shown below?
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AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $8$ 개의 점이 두 줄에 $4$ 개씩 놓여 있습니다. 가로 이웃 점 사이 간격과 두 줄 사이 간격이 모두 같습니다. 이 $8$ 개의 점 중 $3$ 개를 골라 만들 수 있는 삼각형 중, 서로 합동이 아닌 것은 몇 개일까요?
주어진 것: 같은 간격으로 놓인 $4$ 개의 점이 두 줄을 이루고, 두 줄 사이 간격도 점 사이 간격과 같음; $8$ 개의 점 중 일직선 위에 있지 않은 $3$ 개를 골라야 삼각형이 됨; 두 삼각형은 세 변의 길이가 모두 같으면 합동; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$
구하는 것: $8$ 개의 점 중 $3$ 개를 꼭짓점으로 하는 삼각형 중 서로 합동이 아닌 개수
이해
문제 재정리: $8$ 개의 점이 두 줄에 $4$ 개씩 놓여 있습니다. 가로 이웃 점 사이 간격과 두 줄 사이 간격이 모두 같습니다. 이 $8$ 개의 점 중 $3$ 개를 골라 만들 수 있는 삼각형 중, 서로 합동이 아닌 것은 몇 개일까요?
주어진 것: 같은 간격으로 놓인 $4$ 개의 점이 두 줄을 이루고, 두 줄 사이 간격도 점 사이 간격과 같음; $8$ 개의 점 중 일직선 위에 있지 않은 $3$ 개를 골라야 삼각형이 됨; 두 삼각형은 세 변의 길이가 모두 같으면 합동; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #3 가능성 줄이기
$\binom{8}{3} = 56$ 가지를 전부 확인하는 것은 낭비입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 점들을 좌표평면에 올리면 각 삼각형의 모양이 "세 변 길이의 제곱 묶음" 하나로 표현됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 아래쪽 줄에 놓는 밑변의 길이($1$, $2$, $3$) 별로 케이스를 나누고, 각 케이스 안에서 위쪽 줄의 꼭짓점을 순서대로 옮기는 식으로 검색을 정리합니다. 도구 #3(가능성 줄이기)은 격자의 두 대칭 — 위·아래 뒤집기와 좌·우 뒤집기 — 을 활용해 이미 센 삼각형과 합동인 케이스, 그리고 한 줄에 세 점만 골라 삼각형이 되지 않는 케이스를 미리 제거합니다.
실행 — 정답: D
6.G.A.3 단계 1 - 점을 좌표 위에 올립니다.
- 아래쪽 줄 $B_1, B_2, B_3, B_4$ 를 $(0,0), (1,0), (2,0), (3,0)$, 위쪽 줄 $T_1, T_2, T_3, T_4$ 를 $(0,1), (1,1), (2,1), (3,1)$ 로 둡니다.
- 두 점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ 사이의 거리 제곱은 $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ 입니다.
- 합동 판정은 변 길이의 제곱만 비교해도 충분하므로 제곱근을 씌울 필요가 없습니다.
💡 점을 좌표평면 위에 올리는 순간, 그림 문제가 6학년 "좌표로 주어진 다각형" 문제로 바뀝니다.
8.G.A.2 단계 2 - 성립하지 않는 케이스를 먼저 제거합니다.
- 같은 줄의 세 점은 일직선 위에 있어 삼각형이 되지 않으므로 "세 점 모두 아래", "세 점 모두 위" 의 경우는 제외합니다.
- 나머지는 모두 한 줄에 두 점, 다른 줄에 한 점이 있는 형태이고, 위·아래 뒤집기에 의해 두 경우는 서로 거울상이므로 "밑변이 아래쪽 줄" 인 경우만 나열하면 됩니다.
💡 대칭으로 케이스를 줄이는 것 — 반사는 강체 운동이므로 거울상 삼각형은 합동 — 이 8학년 합동 개념의 핵심입니다.
4.OA.A.3 단계 3 - 밑변 길이별로 정리합니다.
- 아래쪽 줄에서 만들 수 있는 밑변의 길이는 $1$, $2$, $3$ 입니다.
- 각 밑변 길이 안에서 좌·우 뒤집기로 밑변의 위치를 고정한 뒤, 꼭짓점 $T$ 를 위쪽 줄의 네 점에 차례로 두고 새로 등장하는 모양만 기록합니다.
- 좌우로 거울상인 꼭짓점 위치는 같은 삼각형을 또 만드는 셈이라 건너뜁니다.
💡 밑변 길이별로 정리하는 것이 "빠짐없이 나열하기" 의 핵심 — 모든 삼각형이 정확히 한 칸에 들어가고, 같은 칸을 두 번 세지도 않습니다.
8.G.B.8 단계 4 - 밑변 $= 1$: 밑변 $B_1 B_2$ (제곱 길이 $1$) 을 잡습니다.
- 꼭짓점을 $T_1, T_2, T_3, T_4$ 로 옮기며 변 제곱 길이 묶음 $\{|B_1 B_2|^2, |B_1 T|^2, |B_2 T|^2\}$ 를 기록합니다.
- $T_1$ 일 때 $\{1, 1, 2\}$ (새 모양 — 삼각형 1).
- $T_2$ 일 때 $\{1, 2, 1\}$ — $T_1$ 의 좌우 거울상, 건너뜀.
- $T_3$ 일 때 $\{1, 5, 2\}$ (새 모양 — 삼각형 2).
- $T_4$ 일 때 $\{1, 10, 5\}$ (새 모양 — 삼각형 3).
💡 격자 점 사이 거리를 피타고라스 식으로 구하는 것이 8학년 "좌표평면 위 두 점 사이 거리" 표준입니다.
8.G.B.8 단계 5 - 밑변 $= 2$: 밑변 $B_1 B_3$ (제곱 길이 $4$) 을 잡습니다.
- $T_1$ 일 때 $\{4, 1, 5\}$ (새 모양 — 삼각형 4, $1 + 4 = 5$ 이므로 직각삼각형).
- $T_2$ 일 때 $\{4, 2, 2\}$ (새 모양 — 삼각형 5, $2 + 2 = 4$ 이므로 직각이등변삼각형).
- $T_3$ 일 때 $\{4, 5, 1\}$ — $T_1$ 의 거울상, 건너뜀.
- $T_4$ 일 때 $\{4, 10, 2\}$ (새 모양 — 삼각형 6).
💡 밑변 $1$ 과 동일한 체계로 쓸어 가며, 피타고라스 정리의 역으로 직각삼각형도 덤으로 알아냅니다.
8.G.B.8 단계 6 - 밑변 $= 3$: 밑변 $B_1 B_4$ (제곱 길이 $9$) 을 잡습니다.
- $T_1$ 일 때 $\{9, 1, 10\}$ (새 모양 — 삼각형 7, $1 + 9 = 10$ 이므로 직각삼각형).
- $T_2$ 일 때 $\{9, 2, 5\}$ (새 모양 — 삼각형 8).
- $T_3$ 일 때 $\{9, 5, 2\}$ — $T_2$ 의 거울상, 건너뜀.
- $T_4$ 일 때 $\{9, 10, 1\}$ — $T_1$ 의 거울상, 건너뜀.
💡 밑변 $B_1 B_4$ 는 좌우 대칭이 더 강해서 네 꼭짓점 중 두 개가 거울상 중복입니다.
4.OA.A.3 단계 7 - 각 칸의 개수를 더합니다.
- 빠짐없이 나열한 결과 $3 + 3 + 2 = 8$ 개의 합동 아닌 삼각형이 나왔고, 변 제곱 길이 묶음 $\{1,1,2\}, \{1,2,5\}, \{1,5,10\}, \{1,4,5\}, \{2,2,4\}, \{2,4,10\}, \{1,9,10\}, \{2,5,9\}$ 가 모두 다르므로 이 $8$ 개 중에 숨은 합동 쌍은 없습니다.
💡 케이스별 개수를 더하는 것은 4학년 다단계 문장제의 마무리 — 깔끔히 나눈 부분합을 그대로 더하면 됩니다.
6.G.A.3 점을 좌표 위에 올립니다. 아래쪽 줄 $B_1, B_2, B_3, B_4$ 를 $(0,0), (1,0), (2,0), (3,0)$, 위쪽 줄 $ 8.G.A.2 성립하지 않는 케이스를 먼저 제거합니다. 같은 줄의 세 점은 일직선 위에 있어 삼각형이 되지 않으므로 "세 점 모두 아래", "세 점 모두 위" 4.OA.A.3 밑변 길이별로 정리합니다. 아래쪽 줄에서 만들 수 있는 밑변의 길이는 $1$, $2$, $3$ 입니다. 각 밑변 길이 안에서 좌·우 뒤집기로 밑 8.G.B.8 밑변 $= 1$: 밑변 $B_1 B_2$ (제곱 길이 $1$) 을 잡습니다. 꼭짓점을 $T_1, T_2, T_3, T_4$ 로 옮기며 변 제곱 8.G.B.8 밑변 $= 2$: 밑변 $B_1 B_3$ (제곱 길이 $4$) 을 잡습니다. $T_1$ 일 때 $\{4, 1, 5\}$ (새 모양 — 삼각형 4 8.G.B.8 밑변 $= 3$: 밑변 $B_1 B_4$ (제곱 길이 $9$) 을 잡습니다. $T_1$ 일 때 $\{9, 1, 10\}$ (새 모양 — 삼각형 4.OA.A.3 각 칸의 개수를 더합니다. 빠짐없이 나열한 결과 $3 + 3 + 2 = 8$ 개의 합동 아닌 삼각형이 나왔고, 변 제곱 길이 묶음 ${1,1, 검토
합리성 확인: 변 제곱 길이 묶음 $8$ 개가 서로 다 다르므로 $8$ 이라는 개수는 일관됩니다. 또 다른 확인으로, 밑변이 한 줄에 놓이지 않은 삼각형 — 예를 들어 $B_1(0,0), T_2(1,1), T_3(2,1)$ — 도 위 $8$ 칸 중 하나에 속해야 합니다. 이 삼각형의 변 제곱 묶음은 $\{2, 5, 1\}$ 로 삼각형 2 와 일치합니다. 선택지 $(A) 5$ 부터 $(E) 9$ 까지가 답을 좁게 둘러싸고 있고, $(D) 8$ 은 케이스 합계와 AMC 8 공식 정답 모두에 부합합니다.
대안 접근: 도구 #11(가능성 줄이기) 로 선택지를 거를 수도 있습니다. 밑변 $1$ 만 보아도 서로 다른 세 모양 ($\{1,1,2\}, \{1,2,5\}, \{1,5,10\}$) 이 나오고, 밑변 $2$ 에서 직각이등변 $\{2,2,4\}$ 이 더해져 이미 $4$ 가지 — 그래서 $(A) 5$ 가 빠듯합니다. 밑변 $2$ 의 $\{1,4,5\}$ 와 $\{2,4,10\}$ 까지 더하면 $6$ 가지, $(A), (B)$ 가 탈락. 밑변 $3$ 의 두 모양 ($\{1,9,10\}, \{2,5,9\}$) 으로 마무리하면 $8$ 가지, $(C)$ 와 (더 긴 밑변이 없으므로) $(E)$ 도 탈락합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
4.OA.A.3사칙연산을 사용한 다단계 문장제 해결 (밑변 길이별로 케이스를 나눈 뒤 부분합 $3 + 3 + 2 = 8$ 을 더해 최종 개수를 구하는 데 사용.)6.G.A.3꼭짓점 좌표가 주어진 다각형을 좌표평면에 나타내기 ($8$ 개의 점에 좌표 $(0,0)$ ~ $(3,1)$ 을 부여해, 각 삼각형을 좌표평면 위의 다각형으로 다루는 데 사용.)8.G.A.2강체 변환으로 두 도형의 합동을 이해하기 (위·아래 뒤집기와 좌·우 뒤집기(반사 = 강체 운동)로 거울상 삼각형을 합동으로 묶어 탐색을 줄이는 데 사용.)8.G.B.8피타고라스 정리로 좌표평면 위 두 점 사이 거리 구하기 (각 변의 제곱 길이 $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$ 을 계산하고, 묶음을 비교해 합동 여부를 판정하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 8학년 거리 공식 $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$ 와 "빠짐없이 나열하기" 만 있으면 — 같은 삼각형을 두 번 세지 않게 — 풀 수 있어요.
⭐ 이 AMC 8 문제는 8학년 거리 공식 $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$ 와 "빠짐없이 나열하기" 만 있으면 — 같은 삼각형을 두 번 세지 않게 — 풀 수 있어요.
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