AMC 8 · 2004 · #20

학년 5 arithmetic

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

fraction-arithmeticratio-proportionlinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

Two-thirds of the people in a room are seated in three-fourths of the chairs. The rest of the people are standing. If there are $6$ empty chairs, how many people are in the room?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 방 안 사람들 중 $\tfrac{2}{3}$ 이 의자에 앉아 있고, 이들은 의자 전체의 $\tfrac{3}{4}$ 을 채우고 있습니다. 나머지 $\tfrac{1}{4}$ 의 의자, 즉 비어 있는 의자가 $6$ 개입니다. 방 안에 있는 사람은 모두 몇 명인가요?

주어진 것: 방 안 사람들의 $\tfrac{2}{3}$ 이 의자에 앉아 있다; 앉아 있는 사람들은 의자의 $\tfrac{3}{4}$ 을 차지한다; 비어 있는 의자가 $6$ 개 있다; 선택지: (A) $12$, (B) $18$, (C) $24$, (D) $27$, (E) $36$

구하는 것: 방 안에 있는 사람의 총수

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

문제는 사람 수를 묻지만, 구체적인 숫자로 주어진 값은 "비어 있는 의자 $6$ 개" 뿐입니다. 이 값이 정보 사슬의 맨 끝에 있으므로 도구 #11(거꾸로 풀기)이 핵심입니다. 끝에서 시작해 분수를 하나씩 되돌리는 거예요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 길을 두 단계로 나눕니다 — 먼저 "$6$ 개 $=$ 전체 의자의 $\tfrac{1}{4}$"로부터 전체 의자 수를 구하고, 다음에 "앉은 사람 $=$ 전체 사람의 $\tfrac{2}{3}$"로부터 전체 사람 수를 구합니다. 각 단계는 4-5학년 분수 한 줄이에요.

실행 — 정답: D

#11 거꾸로 풀기 4.NF.B.4 단계 1

작은 문제 1 — 전체 의자 수 구하기.
의자의 $\tfrac{3}{4}$ 이 차 있으므로 나머지 $\tfrac{1}{4}$ 이 비어 있습니다.
따라서 비어 있는 $6$ 개는 전체의 $\tfrac{1}{4}$.
"$\tfrac{1}{4}$ 의" 를 되돌리려면 $4$ 를 곱합니다.

$$\tfrac{1}{4} \cdot (\text{전체 의자}) = 6 \;\Rightarrow\; \text{전체 의자} = 6 \times 4 = 24$$

💡 4학년 "분수와 자연수의 곱" 을 거꾸로 적용한 형태. 네 등분 중 한 묶음이 $6$ 이면 네 묶음은 $4 \times 6 = 24$.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.6 단계 2

앉아 있는 사람 수 세기.
차 있는 의자는 $24$ 의 $\tfrac{3}{4}$ 이고, 의자 하나당 사람 한 명이 앉습니다.

$$\text{앉은 사람} = \tfrac{3}{4} \times 24 = 18$$

💡 5학년 "양의 분수만큼 구하기" — 의자 $24$ 개를 네 묶음(각 $6$ 개)으로 나눈 뒤 세 묶음이 차 있으니 $3 \times 6 = 18$.

#11 거꾸로 풀기 5.NF.B.7 단계 3

작은 문제 2 — 전체 사람 수 구하기.
앉은 사람 $18$ 명은 전체 사람의 $\tfrac{2}{3}$ 이므로, $\tfrac{1}{3}$ 은 $18$ 의 절반인 $9$.
"$\tfrac{1}{3}$ 의" 를 되돌리려면 $3$ 을 곱합니다.

$$\tfrac{2}{3} \cdot (\text{전체 사람}) = 18 \;\Rightarrow\; \tfrac{1}{3} \cdot (\text{전체 사람}) = 9 \;\Rightarrow\; \text{전체 사람} = 3 \times 9 = 27$$

💡 5학년 "자연수를 단위분수로 나누기": $18 \div \tfrac{2}{3} = 27$. 또는 $18$ 을 두 묶음으로 나눠 $\tfrac{1}{3}$ 한 묶음을 얻고, 세 묶음을 합치는 것.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.6 단계 4

답을 읽습니다.

$$27 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 두 작은 문제 모두 자연수 답으로 깔끔하게 떨어졌습니다 — 거꾸로 푸는 사슬이 제대로 세워졌다는 신호.

[1] #11 4.NF.B.4 작은 문제 1 — 전체 의자 수 구하기. 의자의 $\tfrac{3}{4}$ 이 차 있으므로 나머지 $\tfrac{1}{4}$ 이 비어 있습니다.

[2] #7 5.NF.B.6 앉아 있는 사람 수 세기. 차 있는 의자는 $24$ 의 $\tfrac{3}{4}$ 이고, 의자 하나당 사람 한 명이 앉습니다.

[3] #11 5.NF.B.7 작은 문제 2 — 전체 사람 수 구하기. 앉은 사람 $18$ 명은 전체 사람의 $\tfrac{2}{3}$ 이므로, $\tfrac{1}{3}$ 은

[4] #7 5.NF.B.6 답을 읽습니다.

검토

합리성 확인: 정방향으로 검산해 봅시다. 사람이 $27$ 명이면 앉은 사람은 $\tfrac{2}{3} \times 27 = 18$, 서 있는 사람은 $27 - 18 = 9$. 의자가 $24$ 개이면 차 있는 의자는 $\tfrac{3}{4} \times 24 = 18$ (앉은 사람 $18$ 명과 일치), 비어 있는 의자는 $24 - 18 = 6$ (문제 조건과 일치). 오답 제거: $12$ 와 $18$ 은 너무 작습니다 — $\tfrac{2}{3} \times 27 = 18$ 만으로도 이미 $18$. $24$ 는 의자 수이지 사람 수가 아닙니다(전형적인 함정). $36$ 이면 앉은 사람이 $\tfrac{2}{3} \times 36 = 24$ 가 되어 차 있는 의자 $18$ 개를 넘어서 모순. 처음부터 끝까지 일치하는 답은 $27$ 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기): 사람 수는 $\tfrac{2}{3}$ 을 곱해 자연수가 되어야 하므로 $3$ 의 배수여야 합니다 — 후보는 (A) $12$, (D) $27$, (E) $36$. 각 후보에 대해 앉은 사람 $=$ $\tfrac{2}{3} \times$ 사람, 필요한 의자 $=$ $\tfrac{4}{3} \times$ 앉은 사람, 비어 있는 의자 $=$ $\tfrac{1}{4} \times$ 의자 를 계산합니다. 오직 $27$ 명만 앉은 사람 $18$, 의자 $24$, 비어 있는 의자 $6$ 으로 떨어져 답은 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.NF.B.4 분수와 자연수의 곱셈 이해 및 적용 (비어 있는 의자 $6$ 개가 의자의 $\tfrac{1}{4}$ 임을 알아내고 이를 되돌려 $4 \times 6 = 24$ 개의 전체 의자 수를 구하는 데 사용.)
5.NF.B.6 분수와 대분수의 곱셈을 활용한 실생활 문제 해결 ($\tfrac{3}{4} \times 24 = 18$ 명의 앉은 사람 수를 구하는 "양의 분수만큼" 단계에 사용.)
5.NF.B.7 분수와 자연수의 나눗셈 이해 및 적용 ("전체 사람의 $\tfrac{2}{3} = 18$" 을 되돌려 $\tfrac{1}{3} = 9$, 그리고 $3 \times 9 = 27$ 을 얻는 데 사용 — 이는 $18 \div \tfrac{2}{3}$ 과 같습니다.)

⭐ 분수 사슬의 끝에 있는 숫자만 알 때는 거꾸로 풀면 됩니다 — 비어 있는 의자 $6$ 개를 전체 의자 $24$, 앉은 사람 $18$, 마침내 방 안 사람 $27$ 명으로 거슬러 올라가세요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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