AMC 8 · 2004 · #5

학년 3 counting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

logical-deductionpattern-recognitioncomplementary-counting identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

Ms. Hamilton's eighth-grade class wants to participate in the annual three-person-team basketball tournament. The losing team of each game is eliminated from the tournament. If sixteen teams compete, how many games will be played to determine the winner?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $16$ 개 팀이 싱글 엘리미네이션 토너먼트를 합니다. 한 경기에서 진 팀은 바로 탈락하고, 우승팀 하나만 남으면 대회가 끝납니다. 총 몇 경기가 치러질까요?

주어진 것: $16$ 개 팀이 출전한다; 싱글 엘리미네이션: 한 번이라도 지면 탈락; 우승팀 하나만 남을 때 대회가 끝난다; 선택지: (A) $4$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $15$, (E) $16$

구하는 것: 치러지는 총 경기 수

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제 풀기

도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 가장 깔끔한 길입니다. 대회 내내 "한 경기당 탈락 팀은 정확히 하나"라는 규칙은 절대 바뀌지 않아요 — 바로 이 일대일 대응이 불변량입니다. 우승팀을 제외한 모든 팀이 탈락해야 하므로 경기 수는 탈락 팀 수와 같고, 그 값은 $16 - 1 = 15$. 도구 #9(더 쉬운 문제 풀기)는 먼저 $4$ 팀처럼 작은 경우를 시도해 "경기 수 = 팀 수 $-$ 1" 규칙을 확인한 뒤 $16$ 팀에 적용하게 해 줍니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제 풀기 3.OA.A.3 단계 1

작은 경우로 워밍업합니다.
$4$ 팀짜리 싱글 엘리미네이션을 해 보면, 1라운드는 $2$ 경기(네 팀이 둘씩 짝지어), 결승은 $1$ 경기.
총 $2 + 1 = 3$ 경기이고, 이는 $4 - 1$ 과 같습니다.

$$4 \text{ 팀} \;\Rightarrow\; 2 + 1 = 3 \text{ 경기} = 4 - 1$$

💡 작은 경우 먼저 풀어 보면 "팀 수 $-$ 1" 패턴을 눈으로 확인할 수 있어요.

#11 변하지 않는 것 찾기 3.OA.A.3 단계 2

불변량을 진술합니다.
모든 경기에서 정확히 한 팀이 이기고 정확히 한 팀이 탈락합니다.
남은 팀 수가 어떻게 바뀌어도 "한 경기당 한 명 탈락"이라는 규칙은 그대로입니다.

$$\text{지금까지 치른 경기 수} = \text{지금까지 탈락한 팀 수}$$

💡 경기와 패배 팀의 일대일 대응이 풀이 전체를 떠받치는 변하지 않는 사실입니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 3.OA.D.8 단계 3

탈락 팀 수를 셉니다.
처음에 $16$ 팀이 있고, 끝에는 한 번도 지지 않은 우승팀 하나만 남습니다.
따라서 탈락한 팀은 $16 - 1 = 15$ 팀.

$$\text{탈락한 팀 수} = 16 - 1 = 15$$

💡 출전한 $16$ 팀에서 우승팀 한 팀을 빼면 한 번이라도 진 팀의 수가 나옵니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 3.OA.D.8 단계 4

불변량을 적용합니다.
경기마다 정확히 한 팀이 탈락하므로 경기 수는 탈락 팀 수와 같습니다.

$$\text{총 경기 수} = \text{탈락한 팀 수} = 15 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 불변량 하나로 토너먼트 세기 문제가 뺄셈 한 줄로 끝납니다.

[1] #9 3.OA.A.3 작은 경우로 워밍업합니다. $4$ 팀짜리 싱글 엘리미네이션을 해 보면, 1라운드는 $2$ 경기(네 팀이 둘씩 짝지어), 결승은 $1$ 경기. 총

[2] #11 3.OA.A.3 불변량을 진술합니다. 모든 경기에서 정확히 한 팀이 이기고 정확히 한 팀이 탈락합니다. 남은 팀 수가 어떻게 바뀌어도 "한 경기당 한 명 탈락"

[3] #11 3.OA.D.8 탈락 팀 수를 셉니다. 처음에 $16$ 팀이 있고, 끝에는 한 번도 지지 않은 우승팀 하나만 남습니다. 따라서 탈락한 팀은 $16 - 1 = 1

[4] #11 3.OA.D.8 불변량을 적용합니다. 경기마다 정확히 한 팀이 탈락하므로 경기 수는 탈락 팀 수와 같습니다.

검토

합리성 확인: 라운드별로 더해 확인해 봅시다. $16$ 팀이면 1라운드 $16 \div 2 = 8$ 경기, 2라운드 $8 \div 2 = 4$ 경기, 3라운드(준결승) $4 \div 2 = 2$ 경기, 4라운드(결승) $1$ 경기. 합계 $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ 경기로 (D)와 일치합니다. 작은 선택지 (A) $4$, (B) $7$, (C) $8$ 은 일부 라운드만 센 값(예: $8$ 은 1라운드뿐)이라 부족하고, (E) $16$ 은 우승팀까지 한 번 졌다는 뜻이라 "우승팀은 안 진다"는 조건에 어긋납니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기): 라운드별 경기 수를 나열합니다. 1라운드 $8$, 2라운드 $4$, 3라운드 $2$, 4라운드 $1$. 매 라운드 절반으로 줄어드는 패턴이고 합은 $8 + 4 + 2 + 1 = 15$. 탈락 수를 세는 대신 라운드 합으로 가도 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.OA.A.3 $100$ 이내 곱셈과 나눗셈으로 서술형 문제 풀기 (워밍업에서 라운드마다 팀을 둘씩 짝짓고 $2$ 로 나누어 "경기 수 = 팀 수 $-$ 1" 규칙이 왜 나타나는지 확인.)
3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 서술형 문제 풀기 ($16$ 팀에서 우승팀 한 팀을 빼 탈락 팀 수 $15$ 를 구하고, 그 값이 곧 총 경기 수임을 연결하는 데 사용.)

⭐ 싱글 엘리미네이션 토너먼트에서는 경기마다 정확히 한 팀이 탈락해요. 그래서 경기 수는 탈락한 팀 수 — 즉 우승팀을 뺀 모든 팀의 수와 같습니다. $16$ 팀이면 $16 - 1 = 15$ 경기, 대진표를 그리지 않아도 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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