AMC 8 · 2005 · #18

학년 4 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

multiplesdivisibility-rulesinterval-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: multiplesdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

How many three-digit numbers are divisible by 13?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $100$ 부터 $999$ 까지의 세 자리 수 중에서 $13$ 으로 나누어떨어지는 수가 몇 개인지 세세요.

주어진 것: 세 자리 수는 $100$ 이상 $999$ 이하의 정수; 어떤 수가 $13$ 의 배수라는 것은 양의 정수 $k$ 에 대해 $13k$ 로 쓸 수 있다는 뜻; 선택지: (A) $7$, (B) $67$, (C) $69$, (D) $76$, (E) $77$

구하는 것: $13$ 의 배수인 세 자리 수의 개수

이해

문제 재정리: $100$ 부터 $999$ 까지의 세 자리 수 중에서 $13$ 으로 나누어떨어지는 수가 몇 개인지 세세요.

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 바꾸기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

세 자리 배수 ($104, 117, 130, \dots$) 를 직접 세는 건 번거롭습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기) 로 문제를 훨씬 간단한 형태로 바꿔 봅시다. 세 자리 배수는 모두 $13k$ 모양이므로, 결국 "$100 \le 13k \le 999$ 를 만족하는 정수 $k$ 가 몇 개인가?" 라는 일반 정수 세기 문제로 바뀝니다. 두 끝점 $k$ 를 찾는 데는 도구 #6(추측하고 확인하기) 이 딱 맞습니다 — $100/13$ 과 $999/13$ 근처 값을 몇 개 넣어 보고 $13k$ 가 세 자리 범위에 처음 들어오는 / 마지막으로 머무는 $k$ 를 확인하면 됩니다. 끝점이 정해지면 개수는 $(\text{끝} - \text{시작}) + 1$ 한 줄로 끝납니다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 바꾸기 4.OA.B.4 단계 1

문제를 $k$ 에 대한 식으로 바꿉니다.
$13$ 의 배수는 모두 $13k$ 모양이므로, $13$ 의 배수인 세 자리 수의 개수는 $100 \le 13k \le 999$ 를 만족하는 양의 정수 $k$ 의 개수와 같습니다.

$$100 \le 13k \le 999,\ \ k \in \{1, 2, 3, \dots\}$$

💡 $13$ 의 배수는 모두 $13 \times \text{어떤 수}$ 입니다. 그러니 세 자리 배수를 직접 찾는 대신, 그 "어떤 수" $k$ 를 찾으면 됩니다 — 이 값들은 연속된 정수 묶음을 이룹니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.6 단계 2

가장 작은 $k$ 를 추측·확인합니다.
$k = 7$ 이면 $13 \times 7 = 91$ 로 두 자리.
$k = 8$ 이면 $13 \times 8 = 104$ 로 세 자리.
따라서 가장 작은 $k$ 는 $8$ 입니다.
($100 \div 13 \approx 7.69$ 이고, $7.69$ 바로 위의 정수가 $8$ 이라는 점에서도 확인됩니다.)

$$13 \times 7 = 91 < 100,\ \ 13 \times 8 = 104 \ge 100 \;\Rightarrow\; k_{\min} = 8$$

💡 $100$ 을 $13$ 으로 나누면 경계가 어디쯤인지 알 수 있고, 그 몫 바로 위의 정수가 첫 번째 유효한 $k$ 가 됩니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.6 단계 3

가장 큰 $k$ 도 같은 방식으로 확인합니다.
$k = 77$ 이면 $13 \times 77 = 1001$ 로 네 자리 — 범위를 벗어남.
$k = 76$ 이면 $13 \times 76 = 988$ 로 세 자리 — 통과.
따라서 가장 큰 $k$ 는 $76$ 입니다.
($999 \div 13 \approx 76.85$ 의 정수 부분과 같습니다.)

$$13 \times 77 = 1001 > 999,\ \ 13 \times 76 = 988 \le 999 \;\Rightarrow\; k_{\max} = 76$$

💡 위쪽 끝도 같은 원리입니다. $999 \div 13$ 의 몫을 내림한 뒤, 두 번의 곱셈으로 경계를 넘지 않았음을 확인합니다.

#9 더 쉬운 문제로 바꾸기 3.OA.D.8 단계 4

$8$ 부터 $76$ 까지의 정수 개수를 셉니다.
유효한 $k$ 값은 $8, 9, 10, \dots, 76$ — 연속된 정수 한 묶음 — 이므로 개수는 $(\text{끝} - \text{시작}) + 1$ 로 계산됩니다.

$$(76 - 8) + 1 = 68 + 1 = 69 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $8$ 부터 $76$ 까지 "기둥 개수" 를 세면 차이보다 하나 더 많습니다. $+1$ 이 빠뜨리기 쉬운 첫 번째 기둥을 챙겨 줍니다.

[1] #9 4.OA.B.4 문제를 $k$ 에 대한 식으로 바꿉니다. $13$ 의 배수는 모두 $13k$ 모양이므로, $13$ 의 배수인 세 자리 수의 개수는 $100 \l

[2] #6 4.NBT.B.6 가장 작은 $k$ 를 추측·확인합니다. $k = 7$ 이면 $13 \times 7 = 91$ 로 두 자리. $k = 8$ 이면 $13 \time

[3] #6 4.NBT.B.6 가장 큰 $k$ 도 같은 방식으로 확인합니다. $k = 77$ 이면 $13 \times 77 = 1001$ 로 네 자리 — 범위를 벗어남. $k

[4] #9 3.OA.D.8 $8$ 부터 $76$ 까지의 정수 개수를 셉니다. 유효한 $k$ 값은 $8, 9, 10, \dots, 76$ — 연속된 정수 한 묶음 — 이므로

검토

합리성 확인: 어림 계산으로도 확인됩니다. 세 자리 수는 $100$ 부터 $999$ 까지 총 $900$ 개이고, 그중 약 $1/13$ 이 $13$ 의 배수이므로 $900 / 13 \approx 69.2$. 정확한 개수 $69$ 와 잘 맞습니다. 오답들은 함정입니다 — $(A)\ 7$ 은 너무 작은 $k$ 중 가장 큰 값이고 $(D)\ 76$ 은 가장 큰 유효한 $k$ 이지 개수가 아닙니다. $(B)\ 67$ 과 $(E)\ 77$ 은 $(\text{끝} - \text{시작}) + 1$ 단계에서 한두 개 잘못 센 결과예요. $(C)\ 69$ 만 맞습니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기): $1$ 부터 $99$ 까지 $13$ 의 배수는 $\lfloor 99/13 \rfloor = 7$ 개, $1$ 부터 $999$ 까지는 $\lfloor 999/13 \rfloor = 76$ 개. $100$ 미만의 배수를 빼면 $76 - 7 = 69$. 같은 답을 "$999$ 까지의 배수 수 − $99$ 까지의 배수 수" 라는 형태로 얻은 셈입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 어떤 수의 모든 인수쌍을 찾고, 그 수가 자기 인수들의 배수임을 인식하기 ($13$ 의 배수는 모두 $13k$ 모양임을 인식해, 문제를 "유효한 $k$ 의 개수 세기" 로 바꾸는 데 사용.)
4.NBT.B.6 네 자리 피제수와 한 자리 제수에 대해 정수 몫과 나머지 구하기 ($100$ 과 $999$ 를 $13$ 으로 나누고 곱셈으로 확인해, 세 자리 범위 안의 가장 작은·가장 큰 $k$ 를 찾는 데 사용.)
3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결하기 ($8$ 부터 $76$ 까지의 정수 개수를 $(\text{끝} - \text{시작}) + 1$ 공식으로 계산해 최종 답 $69$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 세 자리 배수를 세는 대신 그 배수를 만드는 $k$ 를 세세요. 가장 작은 $k$ 는 $8$ ($13 \times 8 = 104$), 가장 큰 $k$ 는 $76$ ($13 \times 76 = 988$), 그래서 $8$ 부터 $76$ 까지의 정수는 $(76 - 8) + 1 = 69$ 개입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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