AMC 8 · 2006 · #4

학년 4 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

fraction-arithmeticmodular-arithmeticspatial-visualization identify-subproblemsmodular-arithmetic ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmodular-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

Initially, a spinner points west. Chenille moves it clockwise $2 \dfrac{1}{4}$ revolutions and then counterclockwise $3 \dfrac{3}{4}$ revolutions. In what direction does the spinner point after the two moves?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

north

(B)

east

(C)

south

(D)

west

(E)

northwest

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 스피너가 처음에 서쪽을 가리킵니다. 시계 방향으로 $2\dfrac{1}{4}$ 바퀴, 그다음 반시계 방향으로 $3\dfrac{3}{4}$ 바퀴 돌립니다. 마지막에 스피너는 어느 방향을 가리키나요?

주어진 것: 시작 방향: 서쪽; 첫 번째 움직임: 시계 방향으로 $2\dfrac{1}{4}$ 바퀴; 두 번째 움직임: 반시계 방향으로 $3\dfrac{3}{4}$ 바퀴; 선택지: (A) 북, (B) 동, (C) 남, (D) 서, (E) 북서

구하는 것: 스피너의 최종 방향

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 나누기

방향 문제에는 나침반 그림이 가장 자연스러워요 — 도구 #1(그림 그리기)로 네 개의 방위를 따라 $\dfrac{1}{4}$ 바퀴씩 직접 걸어가 볼 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)은 일을 두 단계로 깔끔하게 나눕니다. 먼저 두 회전을 하나의 "순 회전" 으로 합치고, 그다음 그 순 회전의 분수 부분만 시작 방향에 적용합니다. 정수 바퀴는 결국 같은 방향으로 돌아오므로 버려도 됩니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 나누기 4.NF.B.3 단계 1

두 회전을 하나의 순 회전으로 합칩니다.
반시계 방향을 양수, 시계 방향을 음수로 두고 정수 부분과 분수 부분을 따로 뺍니다.

$$\text{순 회전} = +3\dfrac{3}{4} - 2\dfrac{1}{4} = (3-2) + \left(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}\right) = 1\dfrac{1}{2} \text{ 바퀴(반시계)}$$

💡 분모가 같은 대분수의 뺄셈은 4학년 그대로입니다. 정수 부분과 분수 부분을 따로 처리하면 돼요.

#7 작은 문제로 나누기 4.MD.C.5 단계 2

정수 부분은 버립니다.
한 바퀴 완전히 돌면 원래 방향으로 돌아오므로, $1\dfrac{1}{2}$ 바퀴는 결국 반시계 방향으로 $\dfrac{1}{2}$ 바퀴와 같습니다.

$$1\dfrac{1}{2} \text{ 바퀴} \;\equiv\; \dfrac{1}{2} \text{ 바퀴(반시계)}$$

💡 한 바퀴는 $360^\circ$ 회전이라 들어간 방향 그대로 나옵니다. 남은 $\dfrac{1}{2}$ 만 방향을 바꿔요.

#1 그림 그리기 4.MD.C.5 단계 3

나침반을 그리고 서쪽에서 반시계 방향으로 $\dfrac{1}{2}$ 바퀴 걸어갑니다.
북이 위에 있는 표준 나침반에서 반시계 방향은 서 $\rightarrow$ 남 $\rightarrow$ 동 $\rightarrow$ 북 $\rightarrow$ 서 순서로 돕니다.
서쪽에서 $\dfrac{1}{4}$ 바퀴 두 번이면 동쪽에 닿아요.

$$\text{서} \xrightarrow{\frac{1}{4}\,\text{반시계}} \text{남} \xrightarrow{\frac{1}{4}\,\text{반시계}} \text{동} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $\dfrac{1}{2}$ 바퀴는 $180^\circ$ — 서쪽의 정반대 방향, 곧 동쪽입니다.

[1] #7 4.NF.B.3 두 회전을 하나의 순 회전으로 합칩니다. 반시계 방향을 양수, 시계 방향을 음수로 두고 정수 부분과 분수 부분을 따로 뺍니다.

[2] #7 4.MD.C.5 정수 부분은 버립니다. 한 바퀴 완전히 돌면 원래 방향으로 돌아오므로, $1\dfrac{1}{2}$ 바퀴는 결국 반시계 방향으로 $\dfrac{

[3] #1 4.MD.C.5 나침반을 그리고 서쪽에서 반시계 방향으로 $\dfrac{1}{2}$ 바퀴 걸어갑니다. 북이 위에 있는 표준 나침반에서 반시계 방향은 서 $\ri

검토

합리성 확인: 분수 부분만으로도 확인해 봅시다. 시계 방향 $2\dfrac{1}{4}$ 는 $2$ 바퀴를 버린 $\dfrac{1}{4}$ 시계 방향과 같습니다. 서 $\to$ 북. 반시계 방향 $3\dfrac{3}{4}$ 는 $\dfrac{3}{4}$ 반시계와 같습니다. 북에서 반시계로 가면 북 $\to$ 서 $\to$ 남 $\to$ 동. 최종 방향은 동쪽이고, 답 (B) 와 일치합니다. 두 방법의 결과가 같다는 점이 우리가 원하던 교차 검증입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 좁히기)로 선택지를 좁혀 봅시다. 순 회전 $1\dfrac{1}{2}$ 바퀴는 한 바퀴가 상쇄되면 $\dfrac{1}{2}$ 바퀴, 즉 $180^\circ$ 회전입니다. 그러므로 최종 방향은 서쪽의 정반대 방향이어야 해요. 이 한 가지 사실만으로 (A) 북, (C) 남, (D) 서, (E) 북서가 모두 제외되고 남는 답은 (B) 동 하나뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NF.B.3 분수 $a/b$ ($a>1$) 를 단위분수 $1/b$ 의 합으로 이해하고, 분모가 같은 대분수의 덧셈·뺄셈 하기 ($3\dfrac{3}{4} - 2\dfrac{1}{4} = 1\dfrac{1}{2}$ 를 정수 부분과 분수 부분으로 나눠 계산하는 데 사용.)
4.MD.C.5 각을 두 반직선이 한 점에서 만나는 도형으로 인식하고, 각의 크기를 원호의 분수로 이해하기 (한 바퀴를 $360^\circ$, $\dfrac{1}{2}$ 바퀴를 $180^\circ$, $\dfrac{1}{4}$ 바퀴를 이웃한 방위 사이의 한 칸으로 읽는 데 사용.)

⭐ 정수 바퀴는 먼저 지우고, 남은 분수만큼만 나침반을 걸으세요. 서쪽에서 반시계로 $\dfrac{1}{2}$ 바퀴면 동쪽 — 4학년 대분수 뺄셈과 나침반 걷기로 풀려요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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