AMC 8 · 2006 · #7

학년 7 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

area-circlesperimeterformula-substitution identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesperimeter

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Circle $X$ has a radius of $\pi$ . Circle $Y$ has a circumference of $8 \pi$ . Circle $Z$ has an area of $9 \pi$ . List the circles in order from smallest to the largest radius.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

X, Y, Z

(B)

Z, X, Y

(C)

Y, X, Z

(D)

Z, Y, X

(E)

X, Z, Y

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 원이 서로 다른 방식으로 주어져 있습니다. 원 $X$ 의 반지름은 $\pi$, 원 $Y$ 의 둘레는 $8\pi$, 원 $Z$ 의 넓이는 $9\pi$ 입니다. 세 원을 반지름이 작은 것부터 큰 것 순서로 나열하세요.

주어진 것: 원 $X$: 반지름 $= \pi$; 원 $Y$: 둘레 $= 8\pi$; 원 $Z$: 넓이 $= 9\pi$; 선택지: (A) $X, Y, Z$; (B) $Z, X, Y$; (C) $Y, X, Z$; (D) $Z, Y, X$; (E) $X, Z, Y$

구하는 것: $X, Y, Z$ 를 반지름이 작은 것부터 큰 것 순서로 정렬한 결과

이해

주어진 것: 원 $X$: 반지름 $= \pi$; 원 $Y$: 둘레 $= 8\pi$; 원 $Z$: 넓이 $= 9\pi$; 선택지: (A) $X, Y, Z$; (B) $Z, X, Y$; (C) $Y, X, Z$; (D) $Z, Y, X$; (E) $X, Z, Y$

계획

주요 도구: #15 공식 활용하기

보조 도구: #12 표현 바꾸기

세 원이 각각 다른 "언어" 로 표현되어 있습니다 — 반지름, 둘레, 넓이. 비교하려면 도구 #12(표현 바꾸기)의 원칙대로 모두 같은 언어로 통일해야 합니다. 세 중 둘이 짧은 공식 한 번이면 반지름으로 바뀌므로 반지름이 자연스러운 선택입니다. 그다음은 도구 #15(공식 활용하기) 가 해결합니다 — $C = 2\pi r$ 로 둘레에서 $Y$ 의 반지름을, $A = \pi r^2$ 로 넓이에서 $Z$ 의 반지름을 얻습니다. 세 반지름이 모두 평범한 수가 되면, 남는 일은 $\pi$ 를 $3$ 과 $4$ 와 비교하는 것뿐입니다.

실행 — 정답: B

#12 표현 바꾸기 7.G.B.4 단계 1

원 $X$ 는 이미 반지름으로 주어져 있습니다.
그대로 적어 둡니다.

$$r_X = \pi$$

💡 변환할 것이 없습니다 — $X$ 는 이미 반지름 언어로 말하고 있습니다.

#15 공식 활용하기 7.G.B.4 단계 2

원 $Y$ 를 둘레에서 반지름으로 바꿉니다.
$C = 2\pi r$ 에서 $2\pi r_Y = 8\pi$ 를 풀면 됩니다.

$$2\pi r_Y = 8\pi \;\Rightarrow\; r_Y = \dfrac{8\pi}{2\pi} = 4$$

💡 7학년 둘레 공식이 $C$ 에서 $r$ 로 가는 다리입니다. 양변을 $2\pi$ 로 나누는 한 단계 방정식입니다.

#15 공식 활용하기 7.G.B.4 단계 3

원 $Z$ 를 넓이에서 반지름으로 바꿉니다.
$A = \pi r^2$ 에서 $\pi r_Z^2 = 9\pi$ 를 풀면 됩니다.

$$\pi r_Z^2 = 9\pi \;\Rightarrow\; r_Z^2 = 9 \;\Rightarrow\; r_Z = 3$$

💡 7학년 넓이 공식에서 $r^2 = 9$ 가 나오고, 양의 제곱근은 $3$ 입니다.

#12 표현 바꾸기 7.NS.A.3 단계 4

이제 세 반지름을 일반적인 수로 비교합니다.
$\pi \approx 3.14$ 이므로 $3 < \pi < 4$ 입니다.

$$r_Z = 3 \;<\; r_X = \pi \approx 3.14 \;<\; r_Y = 4$$

💡 모든 원을 같은 양으로 표현하고 나면, 정렬은 수직선 위 세 수를 정렬하는 일입니다.

#15 공식 활용하기 7.G.B.4 단계 5

반지름이 작은 것부터 큰 것 순서를 그대로 읽어냅니다.

$$Z, X, Y \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 반지름의 순서가 곧 원들의 순서입니다.

[1] #12 7.G.B.4 원 $X$ 는 이미 반지름으로 주어져 있습니다. 그대로 적어 둡니다.

[2] #15 7.G.B.4 원 $Y$ 를 둘레에서 반지름으로 바꿉니다. $C = 2\pi r$ 에서 $2\pi r_Y = 8\pi$ 를 풀면 됩니다.

[3] #15 7.G.B.4 원 $Z$ 를 넓이에서 반지름으로 바꿉니다. $A = \pi r^2$ 에서 $\pi r_Z^2 = 9\pi$ 를 풀면 됩니다.

[4] #12 7.NS.A.3 이제 세 반지름을 일반적인 수로 비교합니다. $\pi \approx 3.14$ 이므로 $3 < \pi < 4$ 입니다.

[5] #15 7.G.B.4 반지름이 작은 것부터 큰 것 순서를 그대로 읽어냅니다.

검토

합리성 확인: 반대 방향으로 한 번 더 확인합시다. $r_Y = 4$ 면 둘레는 $2\pi(4) = 8\pi$ — 일치. $r_Z = 3$ 이면 넓이는 $\pi(3)^2 = 9\pi$ — 일치. 그리고 $\pi$ 는 잘 알려진 대로 $3$ 보다 약간 크고 $4$ 보다는 분명히 작으므로 $X$ 는 $Z$ 와 $Y$ 사이에 위치합니다. 어느 방향으로 봐도 $Z, X, Y$ 순서가 맞습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 선택지를 거르는 방법: $X$ 가 가운데 또는 끝에 오는 선택지는 (B) 와 (E) 뿐입니다. $r_X = \pi$ 는 분명히 $3$ 과 $4$ 사이이므로 $X$ 가 가장 클 수는 없어 (E) 를 제외하면 (B) 가 바로 남습니다 — $r_Y$ 와 $r_Z$ 를 일일이 구하지 않아도 됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 이를 문제 해결에 활용하기 ($C = 2\pi r$ 로 둘레 $8\pi$ 에서 $r_Y = 4$ 를, $A = \pi r^2$ 로 넓이 $9\pi$ 에서 $r_Z = 3$ 을 구하는 데 사용.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산이 포함된 실생활·수학 문제 해결 ($\pi \approx 3.14$ 를 이용해 세 반지름 $3,\ \pi,\ 4$ 를 수직선 위에서 정렬하는 데 사용.)

⭐ 원이 반지름·둘레·넓이처럼 서로 다른 방식으로 주어졌다면, 먼저 모두 같은 형태로 통일하세요. 세 원이 모두 반지름이 되면, 원의 정렬은 곧 세 수의 정렬입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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