AMC 8 · 2007 · #10

학년 5 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

factorsdivisor-countmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: factorsmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

For any positive integer $n$ , define $\boxed{n}$ to be the sum of the positive factors of $n$ .
For example, $\boxed{6} = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$ . Find $\boxed{\boxed{11}}$ .

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\boxed{n}$ 을 $n$ 의 모든 양의 약수의 합으로 정의합니다. 예를 들어 $\boxed{6} = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$. $\boxed{\boxed{11}}$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $\boxed{n}$ 은 $n$ 의 양의 약수를 모두 더한 값; 예시: $\boxed{6} = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$; 구해야 할 값은 $\boxed{\boxed{11}}$ — 같은 연산을 $11$ 에 두 번 적용; 선택지: (A) $13$, (B) $20$, (C) $24$, (D) $28$, (E) $30$

구하는 것: $\boxed{\boxed{11}}$ 의 값

이해

문제 재정리: $\boxed{n}$ 을 $n$ 의 모든 양의 약수의 합으로 정의합니다. 예를 들어 $\boxed{6} = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$. $\boxed{\boxed{11}}$ 의 값을 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 체계적으로 나열하기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 중첩 표현 $\boxed{\boxed{11}}$ 을 두 개의 단순한 질문으로 분해합니다. 먼저 $\boxed{11}$ 을 수로 바꾸고, 그 수로 $\boxed{\text{그 값}}$ 을 다시 계산합니다. 매 단계가 "약수를 빠짐없이 적고 더하기" 한 번이면 끝입니다. 도구 #2(체계적으로 나열하기) 로 약수를 빠뜨리지 않게 $1, 2, 3, \ldots, n$ 순서대로 확인합니다. 대수도 공식도 필요 없는 4학년 약수 작업 두 번입니다.

실행 — 정답: D

#2 체계적으로 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

안쪽 박스 $\boxed{11}$ 을 먼저 계산합니다.
$11$ 의 양의 약수를 모두 나열합니다.
$11$ 은 소수라서 약수가 $1$ 과 $11$ 둘뿐입니다.

$$\boxed{11} = 1 + 11 = 12$$

💡 소수의 약수는 정확히 두 개 — $1$ 과 자기 자신. 안쪽 박스로 가장 쉬운 경우입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 2

안쪽 박스를 그 값으로 바꾸어 적습니다.
$\boxed{\boxed{11}}$ 은 $\boxed{12}$ 가 됩니다.

$$\boxed{\boxed{11}} = \boxed{12}$$

💡 중첩 표현은 안쪽부터 바깥쪽으로 — 괄호 안을 먼저 계산하는 연산 순서와 같은 원칙입니다.

#2 체계적으로 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

바깥 박스 $\boxed{12}$ 를 계산합니다.
$1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots$ 순서로 살펴 $12$ 를 나누어떨어지게 하는 수만 모읍니다.
$12$ 의 약수는 $1, 2, 3, 4, 6, 12$ ($5$ 는 $12$ 의 약수가 아니고, $6$ 다음에는 바로 $12$).

$$\boxed{12} = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28$$

💡 $1$ 부터 차례대로 확인하면 약수를 빠뜨리지 않습니다. $\sqrt{12} \approx 3.5$ 까지만 시험하고 작은 약수마다 $12 \div \text{약수}$ 와 짝지어도 같은 여섯 개가 나옵니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 4

바깥 합이 답입니다.

$$\boxed{\boxed{11}} = 28 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $12$ 의 여섯 약수를 차례로 더합니다: $1+2 = 3$, $3+3 = 6$, $6+4 = 10$, $10+6 = 16$, $16+12 = 28$. 답 (D).

[1] #2 4.OA.B.4 안쪽 박스 $\boxed{11}$ 을 먼저 계산합니다. $11$ 의 양의 약수를 모두 나열합니다. $11$ 은 소수라서 약수가 $1$ 과 $11

[2] #7 5.OA.A.1 안쪽 박스를 그 값으로 바꾸어 적습니다. $\boxed{\boxed{11}}$ 은 $\boxed{12}$ 가 됩니다.

[3] #2 4.OA.B.4 바깥 박스 $\boxed{12}$ 를 계산합니다. $1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots$ 순서로 살펴 $12$ 를 나누어떨어지게 하는

[4] #7 4.NBT.B.4 바깥 합이 답입니다.

검토

합리성 확인: $12$ 의 약수를 짝지어 검산합니다: $1 \cdot 12 = 12$, $2 \cdot 6 = 12$, $3 \cdot 4 = 12$. 세 쌍의 합은 각각 $1+12 = 13$, $2+6 = 8$, $3+4 = 7$. 총합 $13 + 8 + 7 = 28$. (D) 와 일치합니다. 크기도 자연스럽습니다 — 자기 자신을 뺀 진약수 $1, 2, 3, 4, 6$ 만 더해도 이미 $16$ 이므로, $\boxed{12}$ 가 $12$ 보다 꽤 큰 것이 당연합니다. 또한 $12 / 5$ 가 자연수가 아니므로 $5$ 가 빠지는 것도 맞습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): $\boxed{11} = 12$ 가 나오고 나면 문제는 "$12$ 의 약수의 합" 으로 축소됩니다. 약수에는 $1$ 과 $12$ 가 반드시 포함되므로 합은 최소 $13$ 입니다. 그래서 (A) $13$ 은 즉시 탈락 — $13$ 이 답이라면 $12$ 가 소수여야 하지만, $2$ 가 $12$ 의 약수이므로 모순입니다. 자명한 약수 $2, 3$ 까지 더하면 최소 $1 + 2 + 3 + 12 = 18$, 거기에 $4, 6$ 까지 더하면 $28$. 여섯 약수가 모두 들어맞는 선택지는 (D) 뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.OA.B.4 $1$-$100$ 범위의 인수쌍·배수 찾기 및 소수 식별 ($11$ 의 약수($1, 11$ — 소수이므로 둘뿐)와 $12$ 의 약수($1, 2, 3, 4, 6, 12$)를 나열하는 데 사용한 4학년 인수쌍·소수 표준.)
5.OA.A.1 괄호·대괄호·중괄호를 포함한 수식 계산 (중첩 표현 $\boxed{\boxed{11}}$ 을 안쪽부터 바깥쪽 순서로 평가하는 5학년 그루핑 기호 표준.)
4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙히 수행 ($12$ 의 여섯 약수의 합 $1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28$ 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 기호가 자기 자신 안에 또 들어 있으면 안쪽부터 계산해서 그 값을 대입합니다 — 그러면 이 AMC 8 문제는 4학년 약수 나열 두 번으로 풀립니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

비슷한 유형 더 풀어보기