AMC 8 · 2007 · #20

학년 6 algebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State

percentageratio-proportionlinear-equations-one-varsystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: percentagelinear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Before the district play, the Unicorns had won $45\%$ of their basketball games. During district play, they won six more games and lost two, to finish the season having won half their games. How many games did the Unicorns play in all?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 유니콘 팀은 지구 대회 전까지 경기의 $45\%$ 를 이기고 있었습니다. 지구 대회 동안 $6$ 승 $2$ 패를 기록하여 시즌을 정확히 $50\%$ 승률로 마쳤습니다. 시즌 전체에서 치른 경기 수를 구하세요.

주어진 것: 지구 대회 전 승률은 $45\%$; 지구 대회 동안 $6$ 경기를 이기고 $2$ 경기를 졌다; 최종 시즌 승률은 $50\%$; 선택지: (A) $48$, (B) $50$, (C) $52$, (D) $54$, (E) $60$

구하는 것: 시즌 전체에서 유니콘 팀이 치른 경기 수

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #3 가능성 제거하기

문제가 이미 다섯 개의 후보 총합을 주고 있으니 도구 #6(추측하고 확인하기)이 가장 직접적인 길입니다 — 대수를 세우는 것보다 훨씬 간단해요. 각 선택지마다 "지구 대회 전 경기 수 = 선택지 $- 8$" 을 알 수 있고, 그것의 $45\%$ 가 자연수인지, 그리고 $6$ 승을 더하면 시즌 총 경기 수의 절반이 되는지만 확인하면 됩니다. 도구 #3(가능성 제거하기)은 이 검사를 더 날카롭게 만듭니다: $45\% = \tfrac{9}{20}$ 이므로 지구 대회 전 경기 수는 $20$ 의 배수여야 하고, 그 조건만으로 거의 모든 선택지가 즉시 탈락합니다.

실행 — 정답: A

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 1

구조를 한 번만 정리합시다.
시즌 총 경기 수를 $T$ 라 하면 지구 대회 전 경기 수는 $T - 8$ (지구 대회로 $6$ 승 $+ 2$ 패가 추가).
지구 대회 전 승리 수는 $T - 8$ 의 $45\%$.
지구 대회 후 승리 수는 $T$ 의 절반이고, 이는 (지구 대회 전 승리 수) $+ 6$ 과 같습니다.

$$\text{지구 대회 전 경기 수} = T - 8,\quad \text{지구 대회 전 승리 수} = 0.45(T - 8),\quad \tfrac{T}{2} = 0.45(T - 8) + 6$$

💡 모든 양을 $T$ 의 식으로 써 두면, 각 추측이 한 줄 계산으로 검증됩니다.

#3 가능성 제거하기 6.RP.A.3 단계 2

후보를 추립니다.
$45\% = \tfrac{9}{20}$ 이므로 지구 대회 전 승리 수 $= \tfrac{9}{20}(T - 8)$ 이 자연수가 되려면 $T - 8$ 이 $20$ 의 배수여야 합니다.
선택지 $T \in \{48, 50, 52, 54, 60\}$ 에 대해 $T - 8 \in \{40, 42, 44, 46, 52\}$.
이 중 $20$ 의 배수는 $40$ 뿐입니다.

$$T - 8 \in \{40, 42, 44, 46, 52\}\quad\Rightarrow\quad 20\text{의 배수: } 40 \text{ 뿐}$$

💡 승리 수는 자연수여야 하고, $45\%$ 라는 조건이 $20$ 의 배수를 강제합니다 — 나머지 선택지는 더 깊이 따져보기 전에 이미 탈락.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 3

살아남은 $T = 48$ 을 검증합니다.
지구 대회 전 경기 수 $= 40$; 지구 대회 전 승리 수 $= 0.45 \times 40 = 18$.
지구 대회 후 승리 수 $= 18 + 6 = 24$ 이고 총 경기 수는 $48$, 그래서 $\tfrac{24}{48} = 50\%$.
모든 조건이 일치합니다.

$$T = 48:\ \text{지구 대회 전 승리 수} = 0.45 \times 40 = 18,\ \text{지구 대회 후 승리 수} = 18 + 6 = 24,\ \tfrac{24}{48} = \tfrac{1}{2} \checkmark$$

💡 승리 수가 $40$ 경기 중 $18$ 에서 $48$ 경기 중 $24$ 로 — 추가된 $8$ 경기에서 $6$ 승이 만들어낸 깔끔한 $45\% \to 50\%$ 상승.

#3 가능성 제거하기 6.RP.A.3 단계 4

다른 선택지들이 탈락하는 이유도 빠르게 확인합니다.
$T = 50, 52, 54$ 일 때 $0.45(T - 8)$ 은 각각 $18.9, 19.8, 20.7$ 로 자연수가 아닙니다.
$T = 60$ 일 때도 $0.45 \times 52 = 23.4$ 로 자연수가 아닙니다.
따라서 (A) 만 남습니다.

$0.45 \times 42 = 18.9,\ 0.45 \times 44 = 19.8,\ 0.45 \times 46 = 20.7,\ 0.45 \times 52 = 23.4$ — 모두 자연수가 아님

💡 승리 수는 셀 수 있는 양이므로, 소수로 나오면 실제 시즌 기록이 될 수 없습니다. 답: $\textbf{(A)}\ 48$.

[1] #6 6.RP.A.3 구조를 한 번만 정리합시다. 시즌 총 경기 수를 $T$ 라 하면 지구 대회 전 경기 수는 $T - 8$ (지구 대회로 $6$ 승 $+ 2$ 패가

[2] #3 6.RP.A.3 후보를 추립니다. $45\% = \tfrac{9}{20}$ 이므로 지구 대회 전 승리 수 $= \tfrac{9}{20}(T - 8)$ 이 자연수

[3] #6 6.RP.A.3 살아남은 $T = 48$ 을 검증합니다. 지구 대회 전 경기 수 $= 40$; 지구 대회 전 승리 수 $= 0.45 \times 40 = 18$

[4] #3 6.RP.A.3 다른 선택지들이 탈락하는 이유도 빠르게 확인합니다. $T = 50, 52, 54$ 일 때 $0.45(T - 8)$ 은 각각 $18.9, 19.8

검토

합리성 확인: $T = 48$ 로 시즌을 다시 재생해 봅시다. 팀은 $40$ 경기 중 $18$ 승 $22$ 패 (정확히 $45\%$) 로 시작해, 지구 대회에서 $6$ 승 $2$ 패를 더해 시즌을 $24$ 승 $24$ 패로 마칩니다 — 정확히 절반 승. 두 백분율 조건이 모두 정확히 맞고 모든 수가 자연수입니다. 지구 대회 승률이 $\tfrac{6}{8} = 75\%$ 로 이전 $45\%$ 보다 훨씬 높았기 때문에 전체 승률이 $50\%$ 쪽으로 끌려 올라간 것도 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #13(대수 사용하기): $w/t = 0.45$ 와 $(w+6)/(t+8) = 0.5$ 를 세우고 $w = 0.45t$ 를 대입하면 $0.45t + 6 = 0.5t + 4$, 따라서 $0.05t = 2$, $t = 40$. 시즌 총 경기 수는 $t + 8 = 48$ 로 (A) 와 일치. 답은 같지만 두 개의 방정식과 소수 계산이 필요합니다 — 다섯 선택지에 대한 추측-확인은 한 줄짜리 배수 조건만으로 답에 도달합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결 (백분율 포함) ($45\%$ 를 $\tfrac{9}{20}$ 로 읽어 지구 대회 전 경기 수가 $20$ 의 배수여야 한다는 조건을 끌어내고, $48$ 경기 중 $24$ 승이 정확히 $50\%$ 임을 확인하는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$, $px = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 문제 해결 (후보 $T$ 가 만족해야 할 한 단계 방정식 $\tfrac{T}{2} = 0.45(T - 8) + 6$ 을 세우는 데 사용.)

⭐ $45\% = \tfrac{9}{20}$ 이므로 지구 대회 전 경기 수는 $20$ 의 배수여야 합니다 — 그 한 가지 사실이 다섯 선택지를 단 하나로 좁힙니다. 유니콘 팀은 시즌 전체에서 $48$ 경기를 치렀습니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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