AMC 8 · 2007 · #3

학년 4 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

prime-factorizationprime-numbersfactors identify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-numbersdivisibility-rules

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문제

What is the sum of the two smallest prime factors of $250$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2$

(B)

$5$

(C)

$7$

(D)

$10$

(E)

$12$

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $250$ 을 나누어떨어지게 하는 소수 중 가장 작은 두 개를 찾아 더합니다.

주어진 것: 대상 수는 $250$ 입니다; 가장 작은 서로 다른 소인수 두 개만 찾으면 됩니다; 선택지: (A) $2$, (B) $5$, (C) $7$, (D) $10$, (E) $12$

구하는 것: $250$ 의 가장 작은 소인수 두 개의 합

이해

문제 재정리: $250$ 을 나누어떨어지게 하는 소수 중 가장 작은 두 개를 찾아 더합니다.

주어진 것: 대상 수는 $250$ 입니다; 가장 작은 서로 다른 소인수 두 개만 찾으면 됩니다; 선택지: (A) $2$, (B) $5$, (C) $7$, (D) $10$, (E) $12$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "가장 작은 소인수 두 개 찾기" 를 작은 질문 두 개로 나눕니다. (1) $250$ 을 나누는 가장 작은 소수는 무엇인가? (2) 그 소수를 나눈 뒤 남은 수를 나누는 가장 작은 소수는 무엇인가? 매 단계가 단순한 배수 판정 한 번이라서, $250$ 을 한꺼번에 인수분해하는 것보다 훨씬 가볍습니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 객관식 안전망으로, 후보 합을 다섯 선택지와 비교해 확인하는 데 사용합니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

$250$ 의 가장 작은 소인수를 찾습니다.
$0$ 으로 끝나는 짝수이므로 $2$ 로 나눕니다.

$$250 \div 2 = 125$$

💡 가장 작은 소수는 항상 $2$ 이고, 짝수는 모두 $2$ 로 나누어떨어집니다. 도구 #7 의 "소수 하나씩 떼어내기" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 2

몫 $125$ 의 가장 작은 소인수를 찾습니다.
홀수이므로 $2$ 는 안 되고, 자릿수 합 $1+2+5 = 8$ 이 $3$ 의 배수가 아니므로 $3$ 도 안 됩니다.
$5$ 로 끝나므로 $5$ 가 가능합니다.

$$125 \div 5 = 25$$

💡 $2, 3, 5, 7, \ldots$ 순서대로 배수 판정을 하면 가장 작은 소인수를 가장 먼저 찾을 수 있습니다.

#3 가능성 지우기 4.NBT.B.4 단계 3

$250$ 의 가장 작은 서로 다른 소인수 두 개는 $2$ 와 $5$ 입니다.
둘을 더해 답을 구합니다.

$$2 + 5 = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $7$ 은 (C) 와 일치합니다. 다른 선택지는 빠르게 배제됩니다 — (A) $2$ 와 (B) $5$ 는 한쪽 소수를 빠뜨린 함정, (D) $10$ 과 (E) $12$ 는 합성수까지 끌어들인 함정이지만 문제는 소인수만 묻고 있습니다.

[1] #7 4.OA.B.4 $250$ 의 가장 작은 소인수를 찾습니다. $0$ 으로 끝나는 짝수이므로 $2$ 로 나눕니다.

[2] #7 4.OA.B.4 몫 $125$ 의 가장 작은 소인수를 찾습니다. 홀수이므로 $2$ 는 안 되고, 자릿수 합 $1+2+5 = 8$ 이 $3$ 의 배수가 아니므로

[3] #3 4.NBT.B.4 $250$ 의 가장 작은 서로 다른 소인수 두 개는 $2$ 와 $5$ 입니다. 둘을 더해 답을 구합니다.

검토

합리성 확인: 인수분해를 끝까지 계속해 검산합니다: $25 \div 5 = 5$, $5 \div 5 = 1$ 이므로 $250 = 2 \times 5 \times 5 \times 5 = 2 \times 5^3$. 서로 다른 소인수 전체 목록이 $\{2, 5\}$ 뿐이라서 "가장 작은 두 개" 도 같은 두 수이고, 합 $2 + 5 = 7$ 이 맞습니다. (C) 의 위치도 (B) $5$ (소수 하나만 더한 값) 와 (D) $10 = 2 \times 5$ (합성수 함정) 사이에 자리 잡고 있어 작은 소수들의 합이 놓일 만한 자연스러운 자리입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 단독 풀이도 가능합니다. 가장 작은 소수는 항상 $2$ 이고 $250$ 은 짝수이므로 $2$ 가 반드시 한쪽 인수입니다. 그러면 두 번째 소인수는 $2$ 보다 큰 소수이므로 합이 최소 $2+3 = 5$ 입니다. 이미 (A) $2$ 는 불가능 (두 인수가 다른 소수여야 함). 다음으로 $3$ 을 시험하면 $2+5+0 = 7$ 이 $3$ 의 배수가 아니라 $3$ 은 인수가 아님 → (B) $5 = 2+3$ 도 탈락. $5$ 를 시험하면 $250$ 은 $0$ 으로 끝나므로 가능 → 합 $2+5 = 7$. 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.B.4 $1$-$100$ 범위의 인수쌍·배수 찾기 및 소수 식별 ($250$ 이 짝수라서 $2$ 의 배수임을, $125$ 가 $5$ 로 끝나서 $5$ 의 배수임을 알아내는 4학년 소인수 식별 표준.)
4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙히 수행 (가장 작은 소인수 두 개 $2 + 5 = 7$ 을 더해 최종 답을 만드는 데 사용.)

⭐ 가장 작은 소인수는 $2$ 부터 차례로 떼어내면 됩니다 — 4학년 배수 판정 실력만 있으면 이 AMC 8 문제가 그대로 풀립니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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