AMC 8 · 2008 · #20

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Chained Ratio Linking

ratio-proportionfraction-arithmeticlcmmultiples identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticlcm

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The students in Mr. Neatkin's class took a penmanship test. Two-thirds of the boys and $\frac{3}{4}$ of the girls passed the test, and an equal number of boys and girls passed the test. What is the minimum possible number of students in the class?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 닛킨 선생님 반에서 남학생의 $\tfrac{2}{3}$ 와 여학생의 $\tfrac{3}{4}$ 가 글씨쓰기 시험을 통과했고, 통과한 남학생 수와 통과한 여학생 수가 같습니다. 반 전체 학생 수의 최솟값을 구하세요.

주어진 것: 남학생의 $\tfrac{2}{3}$ 가 통과; 여학생의 $\tfrac{3}{4}$ 가 통과; 통과한 남학생 수 = 통과한 여학생 수; 선택지: (A) $12$, (B) $17$, (C) $24$, (D) $27$, (E) $36$

구하는 것: 반 전체 학생 수(남학생 + 여학생)의 최솟값

이해

계획

주요 도구: #3 방정식 세우기

보조 도구: #4 변수 도입하기, #14 극단적인 경우 살펴보기

두 분수로 표현된 두 수가 같다는 조건은 곧바로 식 하나로 옮길 수 있습니다 — 그래서 도구 #3(방정식 세우기)이 중심입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 남학생 수와 여학생 수에 문자를 붙이면 그 식을 쓸 수 있고, "최솟값"이라는 단어가 도구 #14(극단적인 경우 살펴보기)의 신호입니다. 방정식이 남녀 비율을 정해 주면, 그 비율을 만족하는 가장 작은 자연수 쌍이 답이 됩니다.

실행 — 정답: B

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

미지수에 이름을 붙입니다.
남학생 수를 $b$, 여학생 수를 $g$ 라 합시다.
그러면 통과한 남학생은 $\tfrac{2}{3}b$ 명, 통과한 여학생은 $\tfrac{3}{4}g$ 명입니다.

$$b = \text{남학생 수}, \quad g = \text{여학생 수}$$

💡 두 미지의 수에 문자를 부여하는 것은 6학년에서 식 세우기 전에 늘 하는 첫 단계입니다.

#3 방정식 세우기 6.EE.B.7 단계 2

"통과한 남학생 수와 여학생 수가 같다"를 식으로 옮깁니다.
통과한 남학생은 $\tfrac{2}{3}b$, 통과한 여학생은 $\tfrac{3}{4}g$ 이고 둘이 같습니다.

$$\dfrac{2}{3}b = \dfrac{3}{4}g$$

💡 한국어 "같다"는 수학에서 "$=$" — 6학년 한 줄짜리 번역입니다.

#3 방정식 세우기 6.NS.B.4 단계 3

분수를 없애 남녀 수의 관계를 깔끔하게 정리합니다.
양변에 $3$ 과 $4$ 의 최소공배수 $12$ 를 곱하면 분모가 사라집니다.

$$12 \cdot \dfrac{2}{3}b = 12 \cdot \dfrac{3}{4}g \;\Rightarrow\; 8b = 9g$$

💡 최소공배수를 곱해 분수 방정식을 정수 방정식으로 바꾸는 것은 6학년 표준 절차입니다.

#3 방정식 세우기 6.RP.A.1 단계 4

$8b = 9g$ 를 비율로 읽습니다.
$8$ 과 $9$ 는 서로소이므로 식이 자연수 해를 가지려면 $b$ 는 $9$ 의 배수, $g$ 는 $8$ 의 배수여야 합니다.
남학생 대 여학생의 비를 정리합시다.

$$8b = 9g \;\Rightarrow\; \dfrac{b}{g} = \dfrac{9}{8}$$

💡 서로소인 계수 $8$ 과 $9$ 가 만든 식은 비 $b:g$ 를 $9:8$ 로 고정합니다.

#14 극단적인 경우 살펴보기 6.NS.B.4 단계 5

이 비율을 만족하는 가장 작은 자연수 쌍을 고릅니다.
$\gcd(8,9) = 1$ 이므로 $b:g = 9:8$ 을 만족하는 가장 작은 쌍은 $b = 9$, $g = 8$.
조건을 확인하면 통과한 남학생은 $\tfrac{2}{3}(9) = 6$ 명, 통과한 여학생은 $\tfrac{3}{4}(8) = 6$ 명으로 같습니다.

$$b = 9, \quad g = 8 \quad (\text{통과자: } 6 = 6 \;\checkmark)$$

💡 "고정된 비에서 가장 작은 자연수 쌍"은 6학년 최대공약수의 아이디어 — 이미 기약된 비의 분자·분모를 그대로 쓰면 됩니다.

#14 극단적인 경우 살펴보기 6.RP.A.3 단계 6

남학생과 여학생을 더해 학급 전체의 최솟값을 구합니다.

$$b + g = 9 + 8 = 17 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 가장 작은 비율 쌍을 찾았으니 전체는 그 합입니다.

[1] #4 6.EE.A.2 미지수에 이름을 붙입니다. 남학생 수를 $b$, 여학생 수를 $g$ 라 합시다. 그러면 통과한 남학생은 $\tfrac{2}{3}b$ 명, 통과한

[2] #3 6.EE.B.7 "통과한 남학생 수와 여학생 수가 같다"를 식으로 옮깁니다. 통과한 남학생은 $\tfrac{2}{3}b$, 통과한 여학생은 $\tfrac{3}{

[3] #3 6.NS.B.4 분수를 없애 남녀 수의 관계를 깔끔하게 정리합니다. 양변에 $3$ 과 $4$ 의 최소공배수 $12$ 를 곱하면 분모가 사라집니다.

[4] #3 6.RP.A.1 $8b = 9g$ 를 비율로 읽습니다. $8$ 과 $9$ 는 서로소이므로 식이 자연수 해를 가지려면 $b$ 는 $9$ 의 배수, $g$ 는 $8

[5] #14 6.NS.B.4 이 비율을 만족하는 가장 작은 자연수 쌍을 고릅니다. $\gcd(8,9) = 1$ 이므로 $b:g = 9:8$ 을 만족하는 가장 작은 쌍은 $b

[6] #14 6.RP.A.3 남학생과 여학생을 더해 학급 전체의 최솟값을 구합니다.

검토

합리성 확인: 그 다음으로 작은 쌍 $b = 18$, $g = 16$ 도 $8b = 9g$ 를 만족하고 통과자는 $\tfrac{2}{3}(18) = 12$ 명과 $\tfrac{3}{4}(16) = 12$ 명으로 같지만, 합이 $34$ 로 $17$ 보다 큽니다. 모든 해는 $(9, 8)$ 의 자연수 배수이므로 $17$ 이 진짜 최솟값입니다. 오답은 함정과 잘 맞물려 있습니다 — (A) $12$ 는 남학생 수와 여학생 수가 달라야 한다는 사실을 놓친 함정, (C) $24$, (D) $27$, (E) $36$ 은 모두 같은 비의 더 큰 배수들입니다.

대안 접근: 도구 #6(시행과 점검)을 선택지에 적용해 봅시다. (A) $12$ 의 경우 $\tfrac{2}{3}b = \tfrac{3}{4}g$ 가 $b > g$ 를 강제하지만 $b + g = 12$ 안에서는 $b = 9, g = 3$ 정도가 후보가 되고 통과자는 $6$ 명과 $\tfrac{9}{4}$ 로 정수가 아닙니다. (B) $17$ 에서 $b = 9, g = 8$ 을 넣으면 통과자가 각각 $6$ 명으로 같아져 조건을 만족합니다. 따라서 답은 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (남학생·여학생 수를 문자 $b$, $g$ 로 두어 통과자 수 $\tfrac{2}{3}b$, $\tfrac{3}{4}g$ 를 쓰는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형태의 방정식을 세우고 푸는 실생활·수학 문제 해결 ("통과한 남학생 수와 여학생 수가 같다"를 방정식 $\tfrac{2}{3}b = \tfrac{3}{4}g$ 로 옮기는 데 사용.)
6.NS.B.4 최대공약수와 최소공배수 구하기 ($\mathrm{lcm}(3,4) = 12$ 를 곱해 분수를 없애고, $\gcd(8,9) = 1$ 임을 이용해 가장 작은 자연수 쌍 $(b, g) = (9, 8)$ 을 찾는 데 사용.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 ($8b = 9g$ 를 "남학생 대 여학생의 비가 $9 : 8$"로 읽어내는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (비 $9 : 8$ 을 만족하는 가장 작은 자연수 쌍을 골라 $b + g$ 의 최솟값을 구하는 데 사용.)

⭐ 두 집단의 분수가 같은 수를 만들면 방정식 한 개로 옮기고, 분수를 없앤 뒤 그 비를 만족하는 가장 작은 자연수 쌍을 고르세요 — 여기서는 남학생 $9$ 명, 여학생 $8$ 명, 합 $17$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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