AMC 8 · 2008 · #7

학년 4 arithmeticrate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

ratio-proportionfraction-arithmeticlinear-equations-one-var identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

If $\frac{3}{5}=\frac{M}{45}=\frac{60}{N}$ , what is $M+N$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

105

(E)

127

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\dfrac{3}{5}$, $\dfrac{M}{45}$, $\dfrac{60}{N}$ 세 분수가 모두 같습니다. $M + N$ 을 구하세요.

주어진 것: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{M}{45}$; $\dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{N}$; 선택지: (A) $27$, (B) $29$, (C) $45$, (D) $105$, (E) $127$

구하는 것: 분자 $M$; 분모 $N$; 합 $M + N$

이해

문제 재정리: $\dfrac{3}{5}$, $\dfrac{M}{45}$, $\dfrac{60}{N}$ 세 분수가 모두 같습니다. $M + N$ 을 구하세요.

주어진 것: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{M}{45}$; $\dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{N}$; 선택지: (A) $27$, (B) $29$, (C) $45$, (D) $105$, (E) $127$

계획

주요 도구: #3 식 세우기

보조 도구: #7 부분 문제로 나누기

$\dfrac{3}{5} = \dfrac{M}{45} = \dfrac{60}{N}$ 이라는 식은 사실 두 개의 독립적인 식을 이어 붙인 것입니다. 도구 #7(부분 문제로 나누기)을 쓰면 $M$ 에 대한 식 하나, $N$ 에 대한 식 하나로 분리할 수 있습니다. 각 조각은 4학년 동치 분수 문제 — $\dfrac{3}{5}$ 의 분자와 분모에 같은 수를 곱하는 일 — 그대로입니다. 도구 #3(식 세우기)으로 그 곱하는 수를 명확히 적으면 빠르게 풀립니다.

실행 — 정답: E

#7 부분 문제로 나누기 4.NF.A.1 단계 1

식을 두 개로 분리합니다.
가운데와 오른쪽 분수는 $\dfrac{3}{5}$ 라는 값만 공유하므로, 각각 따로 풀어도 됩니다.

$$\dfrac{3}{5} = \dfrac{M}{45} \quad\text{이고}\quad \dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{N}$$

💡 4학년 동치 분수 규칙은 "분자·분모에 같은 수를 곱하면 같은 분수" 입니다. 두 식은 독립이라 따로 풀 수 있습니다.

#3 식 세우기 4.NF.A.1 단계 2

$M$ 을 구합니다.
분모는 $5$ 에서 $45$ 로 갔으니 $9$ 를 곱했습니다.
분자에도 같은 $9$ 를 곱해야 합니다.

$$5 \times 9 = 45 \;\Rightarrow\; M = 3 \times 9 = 27$$

💡 "$5$ 에 무엇을 곱하면 $45$ 가 되는가?"는 3학년 곱셈의 빈자리 채우기 문제입니다. 같은 수를 분자에도 곱합니다.

#3 식 세우기 4.NF.A.1 단계 3

$N$ 을 구합니다.
분자는 $3$ 에서 $60$ 으로 갔으니 $20$ 을 곱했습니다.
분모에도 같은 $20$ 을 곱해야 합니다.

$$3 \times 20 = 60 \;\Rightarrow\; N = 5 \times 20 = 100$$

💡 같은 원리, 이번에는 미지수가 분모입니다. $3$ 을 $60$ 으로 만드는 수를 분모에도 그대로 곱합니다.

#3 식 세우기 4.NBT.B.4 단계 4

$M$ 과 $N$ 을 더해 마무리합니다.

$$M + N = 27 + 100 = 127 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 4학년 여러 자리 덧셈 그대로입니다.

[1] #7 4.NF.A.1 식을 두 개로 분리합니다. 가운데와 오른쪽 분수는 $\dfrac{3}{5}$ 라는 값만 공유하므로, 각각 따로 풀어도 됩니다.

[2] #3 4.NF.A.1 $M$ 을 구합니다. 분모는 $5$ 에서 $45$ 로 갔으니 $9$ 를 곱했습니다. 분자에도 같은 $9$ 를 곱해야 합니다.

[3] #3 4.NF.A.1 $N$ 을 구합니다. 분자는 $3$ 에서 $60$ 으로 갔으니 $20$ 을 곱했습니다. 분모에도 같은 $20$ 을 곱해야 합니다.

[4] #3 4.NBT.B.4 $M$ 과 $N$ 을 더해 마무리합니다.

검토

합리성 확인: 각각이 정말 $\dfrac{3}{5}$ 와 같은지 확인합니다. $\dfrac{27}{45}$: 분자·분모를 $9$ 로 나누면 $\dfrac{3}{5}$. $\dfrac{60}{100}$: 분자·분모를 $20$ 으로 나누면 $\dfrac{3}{5}$. 둘 다 맞으므로 $M = 27$, $N = 100$ 이고 $M + N = 127$ 입니다. 선택지 (A) $27$ 과 (D) $105$ 는 $M$ 만 구하고 멈춘 경우, 혹은 두 미지수 중 하나만 다른 수에 더한 경우의 함정입니다.

대안 접근: 도구 #3(식 세우기)을 교차 곱셈으로 적용: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{M}{45}$ 에서 $5M = 3 \times 45 = 135$, 따라서 $M = 27$. $\dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{N}$ 에서 $3N = 5 \times 60 = 300$, 따라서 $N = 100$. 더하면 $M + N = 127$ 로 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.NF.A.1 분수 $a/b$ 가 $(n \times a)/(n \times b)$ 와 동치임을 시각적 분수 모델로 설명하기 ($\dfrac{3}{5} = \dfrac{M}{45}$ 와 $\dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{N}$ 을 동치 분수 식으로 인식하고, 분자·분모에 같은 수($9$ 와 $20$)를 곱해 미지수를 구하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행하기 (마지막 합 $M + N = 27 + 100 = 127$ 계산에 사용.)

⭐ 두 분수가 같을 때 분자와 분모는 항상 같은 수만큼 커지거나 작아진다 — 그 "곱하는 수" 만 찾으면 미지수가 바로 떨어져요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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