AMC 8 · 2009 · #12

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

probability-basicprime-numberssystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticprime-numbers

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

The two spinners shown are spun once and each lands on one of the numbered sectors. What is the probability that the sum of the numbers in the two sectors is prime?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{2}$

(B)

$\frac{2}{3}$

(C)

$\frac{3}{4}$

(D)

$\frac{7}{9}$

(E)

$\frac{5}{6}$

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 회전판 두 개를 각각 한 번씩 돌립니다. 첫 번째 회전판은 $\{1, 3, 5\}$ 중 하나에, 두 번째 회전판은 $\{2, 4, 6\}$ 중 하나에 같은 확률로 멈춥니다. 두 수의 합이 소수일 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 회전판 1: 같은 크기의 세 칸 $1, 3, 5$; 회전판 2: 같은 크기의 세 칸 $2, 4, 6$; 두 회전은 서로 독립이고, 각 회전판의 모든 칸은 동일한 확률; 선택지: (A) $\tfrac{1}{2}$, (B) $\tfrac{2}{3}$, (C) $\tfrac{3}{4}$, (D) $\tfrac{7}{9}$, (E) $\tfrac{5}{6}$

구하는 것: 두 회전판 수의 합이 소수일 확률

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #1 그림 그리기

결과 쌍이 $3 \times 3 = 9$ 가지뿐이라, 가장 깔끔한 방법은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 정해진 순서대로 합을 한 번씩 모두 적은 뒤 그중 소수가 몇 개인지 세는 것입니다. 도구 #1(그림 그리기)은 이 나열을 $3 \times 3$ 표(회전판 1을 가로, 회전판 2를 세로)로 그려서 빠뜨림이나 중복이 없음을 한눈에 보여 주는 역할입니다. 모든 칸이 같은 확률이므로 확률 $= $ (소수인 합의 개수) $/ 9$ 만 계산하면 됩니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 3.OA.A.1 단계 1

전체 결과 수를 셉니다.
회전판 1은 $3$ 칸, 회전판 2는 $3$ 칸이고 두 회전이 독립이므로, 순서쌍 $(\text{회전판 1}, \text{회전판 2})$ 의 개수는 $3 \times 3 = 9$ 입니다.

$$\text{전체 결과 수} = 3 \times 3 = 9$$

💡 $3 \times 3$ 격자의 결과는 "$3$ 묶음이 $3$ 개" — 3학년 곱셈의 뜻 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 2

$3 \times 3$ 표를 만들어 모든 합을 빠짐없이 나열합니다.
가로(열)는 회전판 1의 값 $1, 3, 5$, 세로(행)는 회전판 2의 값 $2, 4, 6$, 각 칸은 (행 + 열) 의 합입니다.
아홉 개의 합은 $3, 5, 7$ (행 $2$), $5, 7, 9$ (행 $4$), $7, 9, 11$ (행 $6$) 입니다.

$$\begin{array}{c|ccc} + & 1 & 3 & 5 \\ \hline 2 & 3 & 5 & 7 \\ 4 & 5 & 7 & 9 \\ 6 & 7 & 9 & 11 \end{array}$$

💡 행(회전판 2)부터 정한 뒤 열(회전판 1)로 채우는 순서 규칙이 도구 #2 의 핵심 — 9 개 합을 빠뜨림 없이, 중복 없이 적게 해 줍니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

표의 아홉 칸을 하나씩 소수인지 확인합니다.
표에 나오는 서로 다른 합은 $3, 5, 7, 9, 11$ 이고, 이 중 $3, 5, 7, 11$ 은 소수, $9 = 3 \times 3$ 은 합성수입니다.
따라서 표에서 $9$ 가 적힌 칸 두 개($(4, 5)$ 와 $(6, 3)$) 만 제외하면 나머지 $9 - 2 = 7$ 칸이 소수 합에 해당합니다.

$$\text{소수 합 칸 수} = 9 - \#\{9\text{ 칸}\} = 9 - 2 = 7$$

💡 $9 = 3 \times 3$ 이 합성수라는 것과 $3, 5, 7, 11$ 이 소수라는 것은 4학년 약수·소수 판별 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 4

확률 $= $ (유리한 결과 수) $/$ (전체 결과 수) 로 계산합니다.
$3 \times 3$ 표의 모든 칸이 같은 확률이므로, 결과는 그저 소수 칸의 개수를 $9$ 로 나눈 값입니다.

$$P(\text{합이 소수}) = \dfrac{7}{9} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 모든 결과가 동일하게 가능할 때 확률은 "되는 결과 수 $\div$ 전체 결과 수" 입니다.

[1] #1 3.OA.A.1 전체 결과 수를 셉니다. 회전판 1은 $3$ 칸, 회전판 2는 $3$ 칸이고 두 회전이 독립이므로, 순서쌍 $(\text{회전판 1}, \tex

[2] #2 3.OA.A.1 $3 \times 3$ 표를 만들어 모든 합을 빠짐없이 나열합니다. 가로(열)는 회전판 1의 값 $1, 3, 5$, 세로(행)는 회전판 2의 값

[3] #2 4.OA.B.4 표의 아홉 칸을 하나씩 소수인지 확인합니다. 표에 나오는 서로 다른 합은 $3, 5, 7, 9, 11$ 이고, 이 중 $3, 5, 7, 11$

[4] #2 7.SP.C.7 확률 $= $ (유리한 결과 수) $/$ (전체 결과 수) 로 계산합니다. $3 \times 3$ 표의 모든 칸이 같은 확률이므로, 결과는 그저

검토

합리성 확인: 합은 항상 "홀수 $+$ 짝수 $=$ 홀수" 이고, 가능한 홀수 값은 $3, 5, 7, 9, 11$ 뿐입니다. 이 작은 홀수들 중 소수가 아닌 것은 $9$ 하나뿐이라, 대부분의 칸이 소수일 것으로 예상되며 $\tfrac{7}{9}$ 가 이 직관과 일치합니다. 다른 선택지 $\tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{3}{4}, \tfrac{5}{6}$ 는 분모가 $9$ 의 약수가 아니라 $3 \times 3$ 격자 결과로는 약분 없이 나올 수 없습니다 — $\tfrac{7}{9}$ 만 들어맞습니다.

대안 접근: 도구 #11(가능성 줄이기) 로 선택지를 먼저 거를 수도 있습니다. $3 \times 3$ 격자에서 모든 칸이 같은 확률이므로 답은 분모가 $9$ 의 약수인 분수 — $\tfrac{n}{9}$ 또는 $\tfrac{n}{3}$ — 형태여야 합니다. 다섯 선택지 중 이 조건을 만족하는 것은 (D) $\tfrac{7}{9}$ 뿐이며 ($\tfrac{1}{2}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{3}{4}, \tfrac{5}{6}$ 은 어느 것도 분모를 $9$ 로 약분 가능하지 않음), 소수 개수를 직접 세기 전에 이미 (D) 로 좁혀집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

3.OA.A.1 자연수의 곱의 의미 해석 (회전판 1과 회전판 2의 순서쌍을 $3 \times 3 = 9$ 개의 격자 결과로 세는 데 사용.)
4.OA.B.4 1-100 범위에서 약수 쌍을 찾고 소수와 합성수를 구분 (표에 등장하는 합 $3, 5, 7, 9, 11$ 중 $9 = 3 \times 3$ 만 합성수이고 나머지는 소수임을 판별하는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모형을 세워 사건의 확률을 구하기 ($(\text{회전판 1}, \text{회전판 2})$ 쌍 $9$ 가지를 동일하게 가능한 결과로 보고 $P(\text{합이 소수}) = \tfrac{7}{9}$ 를 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 7학년 확률 — "가능한 결과를 작은 표에 빠짐없이 적고, 조건에 맞는 칸을 세서 나누기" — 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

비슷한 유형 더 풀어보기