AMC 8 · 2009 · #15

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

ratio-proportionfraction-multiplicationrate identify-subproblemsratio-proportion ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

A recipe that makes $5$ servings of hot chocolate requires $2$ squares of chocolate, $\frac{1}{4}$ cup sugar, $1$ cup water and $4$ cups milk. Jordan has $5$ squares of chocolate, $2$ cups of sugar, lots of water, and $7$ cups of milk. If he maintains the same ratio of ingredients, what is the greatest number of servings of hot chocolate he can make?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$5 \frac18$

(B)

$6\frac14$

(C)

$7\frac12$

(D)

$8 \frac34$

(E)

$9\frac78$

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 핫초콜릿 레시피 하나로 $5$ 인분이 나오고, 초콜릿 $2$ 조각, 설탕 $\tfrac{1}{4}$ 컵, 물 $1$ 컵, 우유 $4$ 컵이 들어갑니다. 조던은 초콜릿 $5$ 조각, 설탕 $2$ 컵, 물 충분히, 우유 $7$ 컵을 가지고 있습니다. 재료 비율을 그대로 유지할 때 최대 몇 인분을 만들 수 있을까요?

주어진 것: $5$ 인분 레시피: 초콜릿 $2$ 조각, 설탕 $\tfrac{1}{4}$ 컵, 물 $1$ 컵, 우유 $4$ 컵; 조던이 가진 양: 초콜릿 $5$ 조각, 설탕 $2$ 컵, 물 충분, 우유 $7$ 컵; 재료 비율은 레시피와 같게 유지; 선택지: (A) $5\tfrac{1}{8}$, (B) $6\tfrac{1}{4}$, (C) $7\tfrac{1}{2}$, (D) $8\tfrac{3}{4}$, (E) $9\tfrac{7}{8}$

구하는 것: 조던이 만들 수 있는 최대 인분 수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기, #8 단위 살펴보기

신경 써야 할 재료는 초콜릿, 설탕, 우유 셋입니다 — 물은 충분하니 도구 #3(가능성 지우기) 으로 바로 지워 둘 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 을 쓰면 큰 질문이 "각 재료 하나로는 몇 인분이 나오는가?" 라는 작은 문제 세 개로 깔끔하게 갈라집니다. 각각은 도구 #8(단위 살펴보기) 의 단위율 — 조각당 인분, 컵당 인분 — 을 곱하는 단순 계산입니다. 답은 세 값 중 가장 작은 값: 그 재료가 먼저 떨어져서 전체를 결정합니다.

실행 — 정답: D

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 1

한계가 될 수 없는 재료부터 지웁니다.
물은 충분하므로 절대 한계가 되지 않습니다.
따라서 초콜릿, 설탕, 우유 셋만 확인하면 됩니다.

$$\text{확인할 재료} = \{\text{초콜릿},\ \text{설탕},\ \text{우유}\}$$

💡 충분한 재료를 미리 지우는 도구 #3 으로 경우의 수가 넷에서 셋으로 줄어듭니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 2

초콜릿 부분문제.
레시피는 $5$ 인분에 $2$ 조각을 쓰므로 $1$ 조각으로는 $\tfrac{5}{2}$ 인분이 가능합니다.
조던의 $5$ 조각으로는:

$$5 \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{25}{2} = 12.5 \text{ 인분}$$

💡 조각당 인분율은 5학년 "분수 $\times$ 자연수" 계산 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.7 단계 3

설탕 부분문제.
레시피는 $5$ 인분에 $\tfrac{1}{4}$ 컵을 쓰므로 $1$ 컵이면 $5 \div \tfrac{1}{4} = 20$ 인분이 가능합니다.
조던의 $2$ 컵으로는:

$$2 \times 20 = 40 \text{ 인분}$$

💡 단위분수 $\tfrac{1}{4}$ 로 나누는 것은 $4$ 를 곱하는 것 — 5학년 분수 나눗셈 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 4

우유 부분문제.
레시피는 $5$ 인분에 $4$ 컵을 쓰므로 $1$ 컵이면 $\tfrac{5}{4}$ 인분이 가능합니다.
조던의 $7$ 컵으로는:

$$7 \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{35}{4} = 8\tfrac{3}{4} \text{ 인분}$$

💡 초콜릿 단계와 같은 "컵당 인분율 $\times$ 보유량" 계산입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 5

세 결과 중 가장 작은 값을 고릅니다.
초콜릿은 $12.5$, 설탕은 $40$, 우유는 $8\tfrac{3}{4}$ 인분까지 허용합니다.
우유가 먼저 떨어지므로 전체를 결정합니다.

$$\min\!\left(12.5,\ 40,\ 8\tfrac{3}{4}\right) = 8\tfrac{3}{4} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 부분문제들 중 최솟값을 고르는 것이 "한계 재료" 문제의 마무리 — 병목이 전체를 결정합니다.

[1] #3 6.RP.A.3 한계가 될 수 없는 재료부터 지웁니다. 물은 충분하므로 절대 한계가 되지 않습니다. 따라서 초콜릿, 설탕, 우유 셋만 확인하면 됩니다.

[2] #7 5.NF.B.4 초콜릿 부분문제. 레시피는 $5$ 인분에 $2$ 조각을 쓰므로 $1$ 조각으로는 $\tfrac{5}{2}$ 인분이 가능합니다. 조던의 $5$ 조

[3] #7 5.NF.B.7 설탕 부분문제. 레시피는 $5$ 인분에 $\tfrac{1}{4}$ 컵을 쓰므로 $1$ 컵이면 $5 \div \tfrac{1}{4} = 20$ 인

[4] #7 5.NF.B.4 우유 부분문제. 레시피는 $5$ 인분에 $4$ 컵을 쓰므로 $1$ 컵이면 $\tfrac{5}{4}$ 인분이 가능합니다. 조던의 $7$ 컵으로는:

[5] #7 6.RP.A.3 세 결과 중 가장 작은 값을 고릅니다. 초콜릿은 $12.5$, 설탕은 $40$, 우유는 $8\tfrac{3}{4}$ 인분까지 허용합니다. 우유가

검토

합리성 확인: 조던의 재료를 레시피의 몇 배인지로 보면, 초콜릿은 $\tfrac{5}{2} = 2.5$ 배, 설탕은 $\tfrac{2}{1/4} = 8$ 배, 우유는 $\tfrac{7}{4} = 1.75$ 배입니다. 가장 작은 배율 $1.75$ 를 $5$ 인분에 곱하면 $1.75 \times 5 = 8.75 = 8\tfrac{3}{4}$ 인분 — (D) 와 일치합니다. 레시피 대비 가장 모자란 재료가 우유라는 점과도 맞아떨어집니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 확인할 수 있습니다. 가장 큰 후보 (E) $9\tfrac{7}{8}$ 부터 — 필요한 우유 $= \tfrac{4}{5} \times 9\tfrac{7}{8} = \tfrac{4 \times 79}{5 \times 8} = \tfrac{79}{10} = 7.9$ 컵 $> 7$ 컵이라 실패. (D) $8\tfrac{3}{4}$ 는 우유 $= \tfrac{4}{5} \times \tfrac{35}{4} = 7$ 컵 — 가진 양과 정확히 일치. (D) 가 가능하고 (E) 는 불가능합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.NF.B.4 분수 $\times$ 분수·자연수의 곱셈 (조각당 인분율 $\tfrac{5}{2}$ 과 우유 컵당 인분율 $\tfrac{5}{4}$ 에 조던의 보유량을 곱해 $12.5$ 인분과 $8\tfrac{3}{4}$ 인분을 계산.)
5.NF.B.7 자연수를 단위분수로, 단위분수를 자연수로 나누기 (설탕 $1$ 컵당 인분 수 $5 \div \tfrac{1}{4} = 20$ 을 계산.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (각 재료의 한계를 단위율(재료 단위당 인분)로 다루고, 재료들 간 비교로 병목 재료를 고르는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년에서 배운 단위율 추론만 알면 풀려요 — 각 재료가 몇 인분까지 가는지 따로 구하고, 그중 가장 작은 값이 답입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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