AMC 8 · 2009 · #2

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

ratio-proportionmulti-digit-arithmetic ratio-proportionpattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

On average, for every 4 sports cars sold at the local dealership, 7 sedans are sold. The dealership predicts that it will sell 28 sports cars next month. How many sedans does it expect to sell?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

112

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어떤 자동차 대리점에서 스포츠카 $4$ 대가 팔릴 때마다 세단 $7$ 대가 팔립니다. 다음 달에 스포츠카 $28$ 대를 팔 것으로 예상한다면, 같은 비율을 유지할 때 세단은 몇 대가 팔릴 것으로 예상해야 할까요?

주어진 것: 판매 비율은 일정: 스포츠카 대 세단 $= 4 : 7$; 다음 달 스포츠카 예상 판매량 $= 28$ 대; 선택지: (A) $7$, (B) $32$, (C) $35$, (D) $49$, (E) $112$

구하는 것: 다음 달 세단의 예상 판매량

이해

주어진 것: 판매 비율은 일정: 스포츠카 대 세단 $= 4 : 7$; 다음 달 스포츠카 예상 판매량 $= 28$ 대; 선택지: (A) $7$, (B) $32$, (C) $35$, (D) $49$, (E) $112$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

"스포츠카 $4$ 대당 세단 $7$ 대" 라는 표현은 $(4, 7), (8, 14), (12, 21), \ldots$ 처럼 한 "묶음" 씩 늘어나는 반복 패턴을 만듭니다. 도구 #5(패턴 찾기) 로 이 사다리를 눈에 보이게 적어 두면, 스포츠카 쪽이 몇 배가 되어 $28$ 이 됐는지 바로 보이고, 세단 쪽도 같은 배수만큼 늘려 주면 됩니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 자연스러운 검산 — 각 선택지를 $4 : 7$ 비율과 맞춰 보고 일치하는 것을 고릅니다.

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 6.RP.A.3 단계 1

비율을 작은 표로 나열해 패턴을 봅니다.
한 줄이 $4 : 7$ "한 묶음" 에 해당하고, 묶음이 하나 늘 때마다 스포츠카 칸은 $4$ 씩, 세단 칸은 $7$ 씩 늘어납니다.

$$\begin{array}{c|c} \text{스포츠카} & \text{세단} \\ \hline 4 & 7 \\ 8 & 14 \\ 12 & 21 \\ \vdots & \vdots \end{array}$$

💡 몇 줄만 적어 봐도 추상적인 비율이 실제로 셀 수 있는 모양으로 바뀝니다.

#5 패턴 찾기 6.RP.A.3 단계 2

배수를 구합니다.
한 묶음의 스포츠카 $4$ 대에서 $28$ 대가 되려면 $28 \div 4 = 7$ 배입니다.
즉 $28$ 대의 스포츠카는 $4 : 7$ 묶음 $7$ 개에 해당합니다.

$$28 \div 4 = 7 \text{ 묶음}$$

💡 두 칸 모두 묶음 수는 같아야 한다는 점이 곧 "비율이 일정하다" 의 뜻입니다.

#5 패턴 찾기 5.NF.B.5 단계 3

같은 배수를 세단 칸에 적용합니다.
한 묶음이 세단 $7$ 대를 차지하고 묶음이 $7$ 개이므로 세단 총합은 $7 \times 7$ 입니다.

$$\text{세단} = 7 \times 7 = 49 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 비율의 두 항에 같은 자연수를 곱하면 동등한 비율이 유지됩니다.

[1] #5 6.RP.A.3 비율을 작은 표로 나열해 패턴을 봅니다. 한 줄이 $4 : 7$ "한 묶음" 에 해당하고, 묶음이 하나 늘 때마다 스포츠카 칸은 $4$ 씩, 세

[2] #5 6.RP.A.3 배수를 구합니다. 한 묶음의 스포츠카 $4$ 대에서 $28$ 대가 되려면 $28 \div 4 = 7$ 배입니다. 즉 $28$ 대의 스포츠카는 $

[3] #5 5.NF.B.5 같은 배수를 세단 칸에 적용합니다. 한 묶음이 세단 $7$ 대를 차지하고 묶음이 $7$ 개이므로 세단 총합은 $7 \times 7$ 입니다.

검토

합리성 확인: 비율을 확인합니다. $28 : 49$ 의 공약수 $7$ 로 양쪽을 나누면 $4 : 7$ — 원래 비율과 정확히 일치합니다. 또 비율상 세단이 스포츠카보다 많아야 하는데($7 > 4$), $49 > 28$ 이므로 방향도 맞습니다. $28$ 보다 작은 (A) $7$, 살짝 큰 (B) $32$ · (C) $35$ 는 $4 : 7$ 모양을 유지하지 못하고, (E) $112$ 는 스포츠카의 $4$ 배라 비율이 깨집니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 검사합니다. 각 후보 $s$ 에 대해 $28 : s$ 를 간단히 만들어 $4 : 7$ 과 같은지 봅니다. (A) $28 : 7 = 4 : 1$, 불일치. (B) $28 : 32 = 7 : 8$, 불일치. (C) $28 : 35 = 4 : 5$, 불일치. (D) $28 : 49 = 4 : 7$, 일치. (E) $28 : 112 = 1 : 4$, 불일치. 오직 (D) 만 맞습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($4 : 7$ 을 일정한 비율로 인식하고, 두 달을 잇는 배수 $28 \div 4 = 7$ 을 찾는 데 사용.)
5.NF.B.5 곱셈을 "크기 조절(scaling)" 로 해석 (세단 쪽에도 같은 배수 $7$ 을 곱해 $7 \times 7 = 49$ 대를 계산하는 데 사용.)

⭐ 두 양이 일정한 비율로 늘어날 때는, 한쪽이 몇 배가 됐는지 먼저 찾고 다른 쪽도 같은 배수만큼 키워 주면 돼요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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