AMC 8 · 2009 · #5

학년 4 pattern

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

recursive-sequencepattern-recognitionmulti-digit-arithmetic pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

A sequence of numbers starts with $1$ , $2$ , and $3$ . The fourth number of the sequence is the sum of the previous three numbers in the sequence: $1+2+3=6$ . In the same way, every number after the fourth is the sum of the previous three numbers. What is the eighth number in the sequence?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1, 2, 3$으로 시작하는 수열이 있습니다. 네 번째 항부터는 모든 항이 바로 앞의 세 항의 합과 같습니다. 여덟 번째 항을 구하세요.

주어진 것: 처음 세 항: $a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3 = 3$; 규칙: $n \ge 4$일 때 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3}$; 예시: $a_4 = 1 + 2 + 3 = 6$; 선택지: (A) $11$, (B) $20$, (C) $37$, (D) $68$, (E) $99$

구하는 것: 수열의 여덟 번째 항 $a_8$

이해

문제 재정리: $1, 2, 3$으로 시작하는 수열이 있습니다. 네 번째 항부터는 모든 항이 바로 앞의 세 항의 합과 같습니다. 여덟 번째 항을 구하세요.

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

수열이 "바로 앞 세 항의 합"이라는 분명한 규칙으로 정의돼 있으니, 도구 #5(패턴 찾기)로 규칙대로 한 항씩 이어가면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 항을 한 줄에 순서대로 적어 두기 위함입니다 — 그러면 매 단계에서 필요한 "앞 세 항"이 그 줄의 마지막 세 숫자로 자동으로 보입니다. $a_4$부터 $a_8$까지 다섯 개만 구하면 되므로, 굳이 대수(도구 #13)를 꺼낼 일이 없습니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 1

주어진 세 항을 순서대로 줄에 적습니다.
이게 나열의 출발점입니다.

$$a_1, a_2, a_3 = 1, 2, 3$$

💡 알고 있는 값을 먼저 줄에 적어 두면, 다음 단계에서 필요한 "앞 세 항"이 곧 줄의 마지막 세 숫자가 됩니다.

#5 패턴 찾기 3.NBT.A.2 단계 2

규칙대로 줄의 마지막 세 항을 더해 $a_4$를 구합니다.

$$a_4 = 1 + 2 + 3 = 6$$

💡 문제가 친절하게 예시로 보여 준 단계이므로, 규칙을 제대로 읽었는지 확인하는 검산도 됩니다.

#5 패턴 찾기 3.NBT.A.2 단계 3

이제 줄은 $1, 2, 3, 6$입니다.
마지막 세 항을 더해 $a_5$를 구합니다.

$$a_5 = 2 + 3 + 6 = 11$$

💡 "세 항짜리 창문"을 한 칸 오른쪽으로 미끄러뜨려 더한다고 보면 됩니다.

#5 패턴 찾기 3.NBT.A.2 단계 4

줄: $1, 2, 3, 6, 11$.
마지막 세 항을 더해 $a_6$을 구합니다.

$$a_6 = 3 + 6 + 11 = 20$$

💡 규칙은 그대로, 더할 세 숫자만 바뀝니다 — 같은 동작의 반복입니다.

#5 패턴 찾기 3.NBT.A.2 단계 5

줄: $1, 2, 3, 6, 11, 20$.
마지막 세 항을 더해 $a_7$을 구합니다.

$$a_7 = 6 + 11 + 20 = 37$$

💡 항이 점점 커지므로, 덧셈을 한 번 더 검산합니다 — 한 항이 틀리면 그 뒤로 모두 어긋납니다.

#5 패턴 찾기 3.NBT.A.2 단계 6

줄: $1, 2, 3, 6, 11, 20, 37$.
마지막 세 항을 더해 $a_8$을 구하면 답이 나옵니다.

$$a_8 = 11 + 20 + 37 = 68 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 마지막으로 창문을 한 번 더 밀면 목표 항이 나옵니다. 완성된 줄: $1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68$.

[1] #2 4.OA.C.5 주어진 세 항을 순서대로 줄에 적습니다. 이게 나열의 출발점입니다.

[2] #5 3.NBT.A.2 규칙대로 줄의 마지막 세 항을 더해 $a_4$를 구합니다.

[3] #5 3.NBT.A.2 이제 줄은 $1, 2, 3, 6$입니다. 마지막 세 항을 더해 $a_5$를 구합니다.

[4] #5 3.NBT.A.2 줄: $1, 2, 3, 6, 11$. 마지막 세 항을 더해 $a_6$을 구합니다.

[5] #5 3.NBT.A.2 줄: $1, 2, 3, 6, 11, 20$. 마지막 세 항을 더해 $a_7$을 구합니다.

[6] #5 3.NBT.A.2 줄: $1, 2, 3, 6, 11, 20, 37$. 마지막 세 항을 더해 $a_8$을 구하면 답이 나옵니다.

검토

합리성 확인: 각 항은 "앞 두 항 + 가장 큰 항"이라 대략 직전 항의 두 배 가까이 자라납니다. $a_7 = 37$의 두 배는 $74$이고, $68$은 그보다 조금 작아 자연스럽게 들어맞습니다. 선택지에서 $11, 20, 37$은 모두 이 수열의 더 앞쪽 항(전형적인 함정), $99$는 $11 + 20 + 37$로 만들 수 없는 큰 값입니다. 오직 $68$만 규칙과 맞으니 (D)가 답입니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)으로도 풀립니다. 여덟 번째 항은 정확히 $a_5 + a_6 + a_7 = 11 + 20 + 37 = 68$이어야 합니다. 선택지 $11, 20, 37$은 자기 자신이 더 앞쪽 항이라 후보에서 탈락하고, $99$는 합 $68$보다 크니 역시 탈락 — (D) $68$만 살아남습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (점화식 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3}$을 읽고, 그 규칙을 따라 $a_3$부터 $a_8$까지 패턴을 한 항씩 확장하는 데 사용.)
3.NBT.A.2 $1000$ 이하 수의 덧셈·뺄셈을 유창하게 수행 ($1+2+3$, $2+3+6$, $3+6+11$, $6+11+20$, $11+20+37$처럼 세 수의 합을 단계마다 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 4학년 "주어진 규칙대로 패턴 잇기"와 3학년 덧셈만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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