AMC 8 · 2010 · #11

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

ratio-proportionlinear-equations-one-var ratio-proportionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: ratio-proportionlinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

한 나무의 꼭대기가 다른 나무의 꼭대기보다 $16$ 피트 더 높습니다. 두 나무의 키의 비는 $3:4$ 입니다. 더 큰 나무의 키는 몇 피트일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

112

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 그루의 나무가 나란히 서 있습니다. 큰 나무의 꼭대기가 작은 나무의 꼭대기보다 $16$ 피트 더 높고, 두 나무 키의 비는 작은 나무 : 큰 나무 $= 3 : 4$ 입니다. 큰 나무의 키는 몇 피트일까요?

주어진 것: 작은 나무의 키 : 큰 나무의 키 $= 3 : 4$; 큰 나무의 꼭대기가 작은 나무의 꼭대기보다 $16$ 피트 더 높음; 선택지: (A) $48$, (B) $64$, (C) $80$, (D) $96$, (E) $112$ (피트)

구하는 것: 큰 나무의 키(피트)

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #3 가능성 지우기

비 $3 : 4$ 자체가 이미 "키가 $3$ 인 나무" 와 "키가 $4$ 인 나무" 라는 작은 버전 문제를 보여 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 의 방식대로 작은 경우의 차이($1$) 를 먼저 구하고, 실제 차이 $16$ 피트와 같아지도록 양쪽을 똑같이 확대하면 — 대수 없이 — 답이 바로 나옵니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 객관식 보조 장치입니다. 큰 나무 키의 $\tfrac{1}{4}$ 이 곧 차이 $16$ 이 되어야 하므로, 그 조건으로 선택지를 직접 점검해 답을 못박을 수 있습니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.1 단계 1

쉬운 버전으로 시작합니다.
두 나무가 각각 $3$ 피트, $4$ 피트라고 잠깐 가정해 봅시다.
이 경우 비는 정확히 $3 : 4$ 이고, 큰 나무가 $4 - 3 = 1$ 피트 더 높습니다.

$$\text{작은 경우: 키} = 3, 4 \Rightarrow \text{차이} = 4 - 3 = 1$$

💡 비의 두 수 자체를 키 값으로 잠깐 빌려 쓰는 것이 가장 깔끔한 "더 쉬운 문제" 이고, 비 개념을 다루는 6학년의 기본 사고입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.A.2 단계 2

작은 경우의 차이는 $1$ 피트, 실제 문제의 차이는 $16$ 피트입니다.
비 $3 : 4$ 를 유지하면서 차이를 $16$ 배로 늘리려면, 양쪽 키를 똑같이 $16$ 배 해 주면 됩니다.

$$\text{확대 비율} = \dfrac{16}{1} = 16$$

💡 "두 수에 같은 수를 곱한다" 는 4학년 곱셈적 비교(multiplicative comparison) 그대로입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.3 단계 3

확대 비율 $16$ 을 두 나무에 적용합니다.
작은 나무는 $3 \times 16 = 48$ 피트, 큰 나무는 $4 \times 16 = 64$ 피트가 됩니다.
확인: 비가 $48 : 64 = 3 : 4$ 로 유지되고, 차이도 $64 - 48 = 16$ 피트 — 조건 두 가지가 모두 맞습니다.

$$3 \times 16 = 48, \quad 4 \times 16 = 64, \quad 64 - 48 = 16 \;\checkmark$$

💡 비에 같은 수를 곱해도 비는 변하지 않는다 — 이게 6학년 비·비례 추론의 핵심입니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 4

선택지로 다시 확인합니다.
큰 나무 키 $h$ 의 $\tfrac{1}{4}$ 이 곧 차이 $16$ 이어야 하므로 $\tfrac{1}{4} h = 16$, 즉 $h = 64$ 입니다.
선택지 중 이 조건을 만족하는 값은 (B) $64$ 뿐입니다.

$$\tfrac{1}{4} h = 16 \Rightarrow h = 64 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 "큰 나무의 $\tfrac{1}{4}$ 이 차이 $16$ 과 같다" 는 한 조건으로 선택지를 거르는 것이 도구 #3(가능성 지우기) 의 전형적인 동작입니다.

[1] #9 6.RP.A.1 쉬운 버전으로 시작합니다. 두 나무가 각각 $3$ 피트, $4$ 피트라고 잠깐 가정해 봅시다. 이 경우 비는 정확히 $3 : 4$ 이고, 큰 나

[2] #9 4.OA.A.2 작은 경우의 차이는 $1$ 피트, 실제 문제의 차이는 $16$ 피트입니다. 비 $3 : 4$ 를 유지하면서 차이를 $16$ 배로 늘리려면, 양쪽

[3] #9 6.RP.A.3 확대 비율 $16$ 을 두 나무에 적용합니다. 작은 나무는 $3 \times 16 = 48$ 피트, 큰 나무는 $4 \times 16 = 64$

[4] #3 6.RP.A.3 선택지로 다시 확인합니다. 큰 나무 키 $h$ 의 $\tfrac{1}{4}$ 이 곧 차이 $16$ 이어야 하므로 $\tfrac{1}{4} h =

검토

합리성 확인: $48$ 피트와 $64$ 피트는 중간 크기 나무로 충분히 현실적인 값이고, $64 - 48 = 16$ 피트로 주어진 차이와 정확히 일치합니다. $48 : 64$ 의 양변을 $16$ 으로 나누면 $3 : 4$ 가 그대로 나오니 비 조건도 만족합니다. 따라서 선택지 중 "짝꿍 키" $\tfrac{3}{4} \cdot h$ 와의 차이가 정확히 $16$ 이 되는 값은 (B) $64$ 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로도 풀 수 있습니다. 작은 나무를 $3k$, 큰 나무를 $4k$ 라 두면 $4k - 3k = k = 16$, 따라서 큰 나무는 $4k = 64$ 피트. 본 풀이에서 "확대 비율" 이라고 부른 값이 바로 이 $k$ 인데, 변수를 도입하지 않는 "쉬운 문제 확대" 방식이 어린 학습자에게는 더 직관적입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.2 곱셈적 비교(multiplicative comparison) 가 들어간 문장제를 곱셈·나눗셈으로 해결 (두 나무 키에 같은 수($\times 16$) 를 곱하면 비가 보존된다는 곱셈적 비교 아이디어로 확대 비율을 적용.)
6.RP.A.1 비(ratio) 의 개념과 비 언어 이해 (주어진 $3 : 4$ 비를 "키가 $3$, $4$ 인 작은 두 나무" 로 읽어, 확대 전 작은 경우를 만드는 데 사용.)
6.RP.A.3 비·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (작은 경우의 차이 $1$ 을 실제 차이 $16$ 으로 맞추는 확대 비율 $\tfrac{16}{1} = 16$ 을 구해 두 나무 키 $48$, $64$ 피트를 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 비·비례 추론만 알면 풀려요 — 작은 $3{:}4$ 짝을 차이가 $16$ 이 될 때까지 똑같이 늘려 주면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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