AMC 8 · 2011 · #14

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

ratio-proportionfraction-arithmetic ratio-proportionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: ratio-proportionfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

콜팩스(Colfax) 중학교에는 학생이 $270$ 명 있고, 남학생과 여학생의 비는 $5 : 4$ 입니다. 윈스럽(Winthrop) 중학교에는 학생이 $180$ 명 있고, 남학생과 여학생의 비는 $4 : 5$ 입니다. 두 학교가 함께 댄스파티를 열어 두 학교의 모든 학생이 참석합니다. 댄스파티에 온 학생 중 여학생이 차지하는 비율은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$dfrac7{18}$

(B)

$dfrac7{15}$

(C)

$dfrac{22}{45}$

(D)

dfrac12

(E)

$dfrac{23}{45}$

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 콜팩스 중학교에는 학생이 $270$ 명 있고, 남학생과 여학생 비가 $5 : 4$ 입니다. 윈스럽 중학교에는 학생이 $180$ 명 있고, 남학생과 여학생 비가 $4 : 5$ 입니다. 두 학교 학생이 모두 한 댄스 파티에 참석합니다. 파티에 온 학생 중 여학생의 비율은 얼마일까요?

주어진 것: 콜팩스: 학생 $270$ 명, 남학생 $:$ 여학생 $= 5 : 4$; 윈스럽: 학생 $180$ 명, 남학생 $:$ 여학생 $= 4 : 5$; 두 학교의 모든 학생이 파티에 참석; 선택지: (A) $\tfrac{7}{18}$, (B) $\tfrac{7}{15}$, (C) $\tfrac{22}{45}$, (D) $\tfrac{1}{2}$, (E) $\tfrac{23}{45}$

구하는 것: $\dfrac{\text{파티에 온 여학생 수}}{\text{파티에 온 전체 학생 수}}$ 를 기약 분수로 나타낸 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

구하려는 것은 "여학생 / 전체" 라는 하나의 분수지만, 두 학교가 각자의 비로 그 분자와 분모에 기여합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "콜팩스에 여학생이 몇 명?" 과 "윈스럽에 여학생이 몇 명?" 두 개의 작은 문제로 나누면 깔끔해집니다. 그 두 수를 구한 다음에는 (여학생 합) $/$ (학생 합) 이라는 한 단계만 남습니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 부분 대 전체 구조를 정확히 잡아 줍니다 — $5 : 4$ 는 여학생이 학교의 $\tfrac{4}{9}$, $4 : 5$ 는 여학생이 학교의 $\tfrac{5}{9}$ 라는 6학년 "비를 부분 대 전체 분수로 바꾸기" 입니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 1

콜팩스의 여학생 수를 구합니다.
비 $5 : 4$ 는 학교를 $5 + 4 = 9$ 등분한 것과 같고, 그중 $4$ 묶음이 여학생이므로 여학생은 전체 $270$ 명의 $\tfrac{4}{9}$ 입니다.

$$\text{콜팩스 여학생} = \tfrac{4}{9} \times 270 = 4 \times 30 = 120$$

💡 비 $5 : 4$ 를 전체의 $\tfrac{4}{9}$ 라는 분수로 바꾸는 것이 6학년 비례 추론의 핵심 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 2

윈스럽의 여학생 수도 같은 방법으로 구합니다.
비 $4 : 5$ 역시 학교를 $4 + 5 = 9$ 등분하지만, 이번에는 여학생이 $5$ 묶음이므로 여학생은 전체 $180$ 명의 $\tfrac{5}{9}$ 입니다.

$$\text{윈스럽 여학생} = \tfrac{5}{9} \times 180 = 5 \times 20 = 100$$

💡 두 번째 학교에도 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 그대로 적용합니다. 비가 뒤집히면 여학생 몫도 $\tfrac{4}{9}$ 에서 $\tfrac{5}{9}$ 로 바뀝니다.

#8 단위 살펴보기 4.NBT.B.4 단계 3

파티 전체 인원을 구하기 위해 두 학교 수를 더합니다.
전체 학생은 $270 + 180$, 전체 여학생은 $120 + 100$ 입니다.

$$\text{전체 학생} = 270 + 180 = 450, \quad \text{전체 여학생} = 120 + 100 = 220$$

💡 두 학교를 합치는 것은 4학년 여러 자리 덧셈 그대로입니다 — "학생", "여학생" 단위가 맞아떨어지므로 그대로 더합니다.

#8 단위 살펴보기 4.NF.A.1 단계 4

$\dfrac{\text{여학생}}{\text{전체 학생}}$ 분수를 만들고 기약 분수로 줄입니다.
분자와 분모를 $\gcd(220, 450) = 10$ 으로 나눕니다.

$$\dfrac{220}{450} = \dfrac{220 \div 10}{450 \div 10} = \dfrac{22}{45} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 분자와 분모를 같은 수로 나누어도 분수 값은 그대로라는 4학년 "동치분수" 규칙입니다.

[1] #7 6.RP.A.3 콜팩스의 여학생 수를 구합니다. 비 $5 : 4$ 는 학교를 $5 + 4 = 9$ 등분한 것과 같고, 그중 $4$ 묶음이 여학생이므로 여학생은

[2] #7 6.RP.A.3 윈스럽의 여학생 수도 같은 방법으로 구합니다. 비 $4 : 5$ 역시 학교를 $4 + 5 = 9$ 등분하지만, 이번에는 여학생이 $5$ 묶음이므

[3] #8 4.NBT.B.4 파티 전체 인원을 구하기 위해 두 학교 수를 더합니다. 전체 학생은 $270 + 180$, 전체 여학생은 $120 + 100$ 입니다.

[4] #8 4.NF.A.1 $\dfrac{\text{여학생}}{\text{전체 학생}}$ 분수를 만들고 기약 분수로 줄입니다. 분자와 분모를 $\gcd(220, 450)

검토

합리성 확인: 값의 크기로 확인합니다. 콜팩스는 남학생이 더 많고($\tfrac{5}{9}$ 대 $\tfrac{4}{9}$), 윈스럽은 여학생이 더 많지만($\tfrac{5}{9}$ 대 $\tfrac{4}{9}$), 학생 수는 콜팩스가 더 큽니다($270 > 180$). 그래서 전체로는 남학생이 약간 더 많아야 합니다. 여학생 비율 $\tfrac{22}{45} \approx 0.489$ 는 $\tfrac{1}{2}$ 보다 살짝 작아서 이 직관과 정확히 맞습니다. 선택지 $\tfrac{7}{18} \approx 0.389$ 와 $\tfrac{7}{15} \approx 0.467$ 는 너무 작고, $\tfrac{1}{2}$ 는 남녀가 같다는 뜻이라 맞지 않으며, $\tfrac{23}{45} \approx 0.511$ 은 남녀 우열이 거꾸로 됩니다.

대안 접근: 도구 #5(규칙·대칭성 찾기): 두 학교 모두 $9$ 등분된다는 공통 구조를 그대로 씁니다. 콜팩스는 한 묶음이 $\tfrac{270}{9} = 30$ 명이고 여학생이 $4$ 묶음이므로 $30 \times 4 = 120$ 명, 윈스럽은 한 묶음이 $\tfrac{180}{9} = 20$ 명이고 여학생이 $5$ 묶음이므로 $20 \times 5 = 100$ 명. 결과는 같은 $\tfrac{22}{45}$ 이지만, 공통의 "$9$ 등분" 구조를 이용해 계산이 빨라집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.4 여러 자리 정수의 덧셈·뺄셈 능숙하게 수행 (두 학교의 합계를 구할 때 $270 + 180 = 450$ 명, $120 + 100 = 220$ 명 의 덧셈을 수행.)
4.NF.A.1 동치분수의 원리 설명 및 동치분수 생성 ($\tfrac{220}{450}$ 의 분자와 분모를 $10$ 으로 나누어 $\tfrac{22}{45}$ 로 줄임.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (각 비($5 : 4$, $4 : 5$)를 학교 전체의 분수로 바꿔 콜팩스 여학생 ($\tfrac{4}{9} \times 270 = 120$) 와 윈스럽 여학생 ($\tfrac{5}{9} \times 180 = 100$) 을 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "비를 전체의 몇 분의 몇으로 바꾸기" 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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