AMC 8 · 2011 · #2

학년 4 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

area-rectanglesmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

칼(Karl)의 직사각형 채소밭은 $20$ 피트 $\times$ $45$ 피트이고, 매케나(Makenna)의 채소밭은 $25$ 피트 $\times$ $40$ 피트입니다. 두 사람의 채소밭 중 넓이가 더 넓은 쪽은 어느 쪽인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Karl's garden is larger by 100 square feet.

(B)

Karl's garden is larger by 25 square feet.

(C)

The gardens are the same size.

(D)

Makenna's garden is larger by 25 square feet.

(E)

Makenna's garden is larger by 100 square feet.

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 칼의 직사각형 채소밭은 $20$ 피트 $\times$ $45$ 피트입니다. 매케나의 채소밭은 $25$ 피트 $\times$ $40$ 피트입니다. 두 밭 중 어느 쪽이 더 넓고, 몇 제곱피트만큼 더 넓을까요?

주어진 것: 칼의 밭은 $20 \text{ 피트} \times 45 \text{ 피트}$ 직사각형; 매케나의 밭은 $25 \text{ 피트} \times 40 \text{ 피트}$ 직사각형; 선택지는 누구의 밭이 몇 제곱피트만큼 더 넓은지 비교

구하는 것: 둘 중 넓이가 더 큰 사람; 두 넓이의 차(제곱피트 단위)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

문장 하나에 "칼의 넓이 구하기", "매케나의 넓이 구하기", "비교하기" 세 가지 작은 문제가 묶여 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 직사각형의 넓이를 각각 구한 뒤 빼면 됩니다. 도구 #8(단위 살펴보기)은 $\text{피트} \times \text{피트} = \text{피트}^2$ 가 그대로 답의 단위 "제곱피트" 와 맞아떨어진다는 점을 확인해 줘서 따로 단위 변환할 일이 없게 해 줍니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 1

직사각형 넓이 공식 $A = \text{가로} \times \text{세로}$ 로 칼의 넓이를 구합니다.
계산 팁: $20 \times 45 = 2 \times 45 \times 10 = 90 \times 10$.

$$A_K = 20 \times 45 = 900 \text{ 피트}^2$$

💡 변 두 개를 곱해서 넓이를 구하는 것은 3학년 직사각형 넓이 표준입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.MD.C.7 단계 2

같은 공식을 매케나의 밭에도 적용합니다.
계산 팁: $25 \times 40 = 25 \times 4 \times 10 = 100 \times 10$.

$$A_M = 25 \times 40 = 1000 \text{ 피트}^2$$

💡 같은 넓이 공식을 매케나의 직사각형에 끼워 넣은, 도구 #7의 두 번째 작은 문제입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.A.2 단계 3

두 넓이를 비교합니다.
$1000 > 900$ 이므로 매케나의 밭이 더 넓습니다.

$$A_M = 1000 > 900 = A_K$$

💡 여러 자릿수의 자연수를 비교하는 것은 4학년 자릿값 기술입니다.

#8 단위 살펴보기 4.NBT.B.4 단계 4

차이를 빼서 매케나의 밭이 얼마나 더 넓은지 구합니다.
단위는 끝까지 제곱피트로 유지됩니다.

$$1000 - 900 = 100 \text{ 피트}^2 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 단위 "제곱피트" 를 그대로 끌고 가는 자연수 뺄셈 — 4학년 표준 알고리즘입니다.

[1] #7 3.MD.C.7 직사각형 넓이 공식 $A = \text{가로} \times \text{세로}$ 로 칼의 넓이를 구합니다. 계산 팁: $20 \times 45 =

[2] #7 3.MD.C.7 같은 공식을 매케나의 밭에도 적용합니다. 계산 팁: $25 \times 40 = 25 \times 4 \times 10 = 100 \times

[3] #7 4.NBT.A.2 두 넓이를 비교합니다. $1000 > 900$ 이므로 매케나의 밭이 더 넓습니다.

[4] #8 4.NBT.B.4 차이를 빼서 매케나의 밭이 얼마나 더 넓은지 구합니다. 단위는 끝까지 제곱피트로 유지됩니다.

검토

합리성 확인: 두 밭의 둘레는 칼이 $2(20+45) = 130$ 피트, 매케나가 $2(25+40) = 130$ 피트로 같습니다. 둘레가 같을 때 직사각형은 정사각형에 가까울수록 넓이가 커집니다. 매케나의 $25 \times 40$ 이 칼의 $20 \times 45$ 보다 정사각형에 더 가까우니, 매케나의 넓이가 더 크게 나오는 것이 자연스럽습니다. 차이 $100 \text{ 피트}^2$ 도 $1000 \text{ 피트}^2$ 규모에 비해 작은 값이라 선택지 크기와도 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #14(만약에 — 둘레 $130$ 피트가 정사각형이라면?)로 보면 한 변이 $32.5$ 피트인 정사각형의 넓이는 $1056.25 \text{ 피트}^2$ 로 이론상 최댓값입니다. 두 밭의 넓이 차는 "두 제곱의 차" 공식으로 깔끔하게 떨어집니다: $25 \times 40 - 20 \times 45 = (32.5^2 - 7.5^2) - (32.5^2 - 12.5^2) = 12.5^2 - 7.5^2 = 156.25 - 56.25 = 100$. 곱셈을 따로 하지 않고도 같은 답 (E) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 연결하고 직사각형의 넓이 구하기 (두 밭의 넓이를 가로 $\times$ 세로로 계산: $20 \times 45 = 900$, $25 \times 40 = 1000$ 제곱피트.)
4.NBT.A.2 여러 자릿수의 자연수 읽기, 쓰기, 비교 ($1000$ 과 $900$ 을 비교해 누구의 밭이 더 넓은지 판단.)
4.NBT.B.4 표준 알고리즘을 이용한 여러 자릿수 자연수의 능숙한 덧셈·뺄셈 ($1000 - 900 = 100$ 을 계산해 매케나의 밭이 얼마나 더 넓은지 구함.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 3학년 "넓이 $=$ 가로 $\times$ 세로" 와 4학년 뺄셈만 있으면 풀 수 있어요 — 각각의 넓이를 구한 뒤 차를 내면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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