AMC 8 · 2012 · #4

학년 4 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

fraction-arithmeticratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

피터(Peter)의 가족은 저녁으로 $12$ 조각짜리 피자를 주문했습니다. 피터는 한 조각을 다 먹고, 또 다른 한 조각은 동생 폴(Paul)과 똑같이 나누어 먹었습니다. 피터가 먹은 피자는 전체의 몇 분의 몇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~\frac{1}{24}$

(B)

$~\frac{1}{12}$

(C)

$~\frac{1}{8}$

(D)

$~\frac{1}{6}$

(E)

$~\frac{1}{4}$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 피자가 똑같은 크기로 $12$ 조각으로 잘려 있습니다. 피터는 한 조각을 혼자 먹고, 또 한 조각은 동생 폴과 똑같이 나눠 먹었습니다. 피터가 먹은 피자는 전체의 몇 분의 몇일까요?

주어진 것: 피자는 같은 크기의 $12$ 조각으로 나뉘어 있다; 피터는 한 조각을 혼자 먹었다; 피터는 한 조각을 더 폴과 똑같이 나눠 먹었다 (피터는 그 조각의 반을 먹음); 선택지: (A) $\tfrac{1}{24}$, (B) $\tfrac{1}{12}$, (C) $\tfrac{1}{8}$, (D) $\tfrac{1}{6}$, (E) $\tfrac{1}{4}$

구하는 것: 피터가 혼자 먹은 양이 전체 피자의 몇 분의 몇인지

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

$12$ 조각짜리 피자를 그리고, 피터가 먹은 부분 — 한 조각 + 또 한 조각의 반 — 을 색칠해 봅니다. 도구 #1(그림 그리기) 이 말로 된 문제를 그림으로 바꿔 주면 "전체 중 얼마" 질문이 "조각 세기" 문제로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 피터가 먹은 양을 "통째 조각" 과 "반쪽 조각" 두 덩어리로 나눠서, 마지막에 두 분수를 더하면 됩니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 3.NF.A.1 단계 1

피자를 같은 크기 $12$ 조각으로 자른 원으로 그립니다.
조각들의 크기가 모두 같으므로 한 조각은 전체 피자의 $\tfrac{1}{12}$ 입니다.

$$1 \text{ 조각} = \text{피자의 } \tfrac{1}{12}$$

💡 전체를 똑같은 $b$ 조각으로 나눈 것 중 하나를 $\tfrac{1}{b}$ 이라 부르는 것은 3학년 단위분수의 정의 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.NF.A.1 단계 2

피터가 먹은 양을 두 부분으로 쪼갭니다 — (a) 혼자 먹은 한 조각과 (b) 폴과 나눠 먹은 또 한 조각.
각각을 따로 구한 뒤 더합니다.

$$\text{피터} = (\text{한 조각}) + (\text{한 조각의 반})$$

💡 피터가 먹은 양을 "통째 부분" 과 "나눠 먹은 부분" 으로 갈라서 보는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 동작입니다.

#1 그림 그리기 4.NF.B.4 단계 3

나눠 먹은 조각 자체도 피자의 $\tfrac{1}{12}$ 이고, 피터는 그 조각의 반만 먹습니다.
$\tfrac{1}{12}$ 의 반은 $\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{12} = \tfrac{1}{24}$ 입니다.

$$\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{12} = \tfrac{1}{24}$$

💡 한 조각을 절반으로 가르는 동작을 분수 곱셈으로 쓰는 것은 4학년 "분수 $\times$ 자연수" 표준입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NF.B.3 단계 4

피터가 먹은 두 부분을 더합니다.
$\tfrac{1}{12}$ 와 $\tfrac{1}{24}$ 을 더하려면 분모를 $24$ 로 통일합니다 — $\tfrac{1}{12} = \tfrac{2}{24}$.
그러면 $\tfrac{2}{24} + \tfrac{1}{24} = \tfrac{3}{24}$.

$$\tfrac{1}{12} + \tfrac{1}{24} = \tfrac{2}{24} + \tfrac{1}{24} = \tfrac{3}{24}$$

💡 한 분수를 같은 값의 다른 분수로 바꿔 분모를 맞춘 뒤 분자만 더하는 것이 4학년 분수 덧셈 방식입니다.

#1 그림 그리기 4.NF.A.1 단계 5

$\tfrac{3}{24}$ 을 분자·분모를 $3$ 으로 나눠 약분하면 $\tfrac{1}{8}$ 입니다.
답은 (C) 입니다.

$$\tfrac{3}{24} = \tfrac{3 \div 3}{24 \div 3} = \tfrac{1}{8} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 분자와 분모를 같은 수로 나눠서 같은 값의 더 간단한 분수로 만드는 것은 4학년 동치분수 규칙입니다.

[1] #1 3.NF.A.1 피자를 같은 크기 $12$ 조각으로 자른 원으로 그립니다. 조각들의 크기가 모두 같으므로 한 조각은 전체 피자의 $\tfrac{1}{12}$ 입

[2] #7 3.NF.A.1 피터가 먹은 양을 두 부분으로 쪼갭니다 — (a) 혼자 먹은 한 조각과 (b) 폴과 나눠 먹은 또 한 조각. 각각을 따로 구한 뒤 더합니다.

[3] #1 4.NF.B.4 나눠 먹은 조각 자체도 피자의 $\tfrac{1}{12}$ 이고, 피터는 그 조각의 반만 먹습니다. $\tfrac{1}{12}$ 의 반은 $\t

[4] #7 4.NF.B.3 피터가 먹은 두 부분을 더합니다. $\tfrac{1}{12}$ 와 $\tfrac{1}{24}$ 을 더하려면 분모를 $24$ 로 통일합니다 — $

[5] #1 4.NF.A.1 $\tfrac{3}{24}$ 을 분자·분모를 $3$ 으로 나눠 약분하면 $\tfrac{1}{8}$ 입니다. 답은 (C) 입니다.

검토

합리성 확인: 피터는 한 조각에 반 조각을 더해서 $12$ 조각 중 $1.5$ 조각을 먹었습니다. 이는 $\tfrac{1}{4}$(세 조각) 보다는 확실히 적고, $\tfrac{1}{12}$(한 조각) 보다는 많으므로 $\tfrac{1}{8}$ 이라는 크기가 자연스럽습니다. 검산: $\tfrac{1}{8} \times 12 = 1.5$ 조각으로 피터가 먹은 양과 정확히 같습니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 단위를 "반 조각" 으로 바꿔 봅니다. 모든 조각을 반으로 자르면 피자는 반 조각 $24$ 개가 됩니다. 피터는 통째 조각에서 반 조각 $2$ 개, 나눠 먹은 조각에서 반 조각 $1$ 개 — 합쳐서 반 조각 $3$ 개를 먹었습니다. 그러므로 $\tfrac{3}{24} = \tfrac{1}{8}$ — 분수 덧셈 없이도 같은 답 (C) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.NF.A.1 전체를 똑같은 $b$ 조각으로 나눈 것 중 하나를 단위분수 $\tfrac{1}{b}$ 로 이해 ($12$ 조각 피자의 한 조각이 전체의 $\tfrac{1}{12}$ 임을 인식하고, 피터가 먹은 양을 한 조각과 반 조각으로 나누는 데 사용.)
4.NF.B.4 분수에 자연수를 곱하는 곱셈으로 곱셈의 의미를 확장 (한 조각의 반을 $\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{12} = \tfrac{1}{24}$ 로 계산하는 데 사용.)
4.NF.B.3 같은 분모를 가진 분수의 덧셈·뺄셈을 부분의 결합·분리로 이해 (피터의 두 부분 $\tfrac{1}{12} + \tfrac{1}{24}$ 을 분모를 맞춘 뒤 $\tfrac{2}{24} + \tfrac{1}{24} = \tfrac{3}{24}$ 로 더하는 데 사용.)
4.NF.A.1 동치분수의 의미 설명과 동치분수 만들기 ($\tfrac{3}{24}$ 의 분자·분모를 $3$ 으로 나눠 $\tfrac{1}{8}$ 로 약분하고, $\tfrac{1}{12} = \tfrac{2}{24}$ 로 통분하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 분수 — 조각을 그려서 더하기 — 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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