AMC 8 · 2012 · #8

학년 7 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

percentagefraction-multiplication identify-subproblems ↑ 선수 지식: percentagefraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

한 가게가 "오늘 세일에서 모든 상품은 반값"이라고 광고합니다. 거기에 더해, 쿠폰을 쓰면 세일가에서 $20\%$ 가 추가로 할인됩니다. 쿠폰을 사용하면 오늘 가격은 원래 가격에서 몇 퍼센트 할인된 가격일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}10$

(B)

$hspace{.05in}33$

(C)

$hspace{.05in}40$

(D)

$hspace{.05in}60$

(E)

$hspace{.05in}70$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 가게가 모든 상품을 "반값 세일" 로 표시했습니다. 거기에 더해 쿠폰을 쓰면 세일가에서 추가로 $20\%$ 가 더 할인됩니다. 세일 중 쿠폰까지 쓰면 원래 가격에서 총 몇 퍼센트 할인받은 셈일까요?

주어진 것: 세일 할인: 원가에서 $50\%$ 할인("반값"); 쿠폰: 이미 할인된 세일가에서 추가로 $20\%$ 할인; 선택지: (A) $10$, (B) $33$, (C) $40$, (D) $60$, (E) $70$ (퍼센트)

구하는 것: 최종 가격이 원가에서 총 몇 퍼센트 할인된 값에 해당하는지

이해

계획

주요 도구: #5 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

원가가 구체적으로 주어지지 않았으니, 도구 #5(변수 도입하기) 로 원가를 $P$ 라고 두면 추상적인 "퍼센트의 퍼센트" 문제가 구체적인 계산으로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 할인 두 번을 깔끔하게 둘로 분리해 줍니다 — 먼저 $50\%$ 세일을 적용해 세일가를 구하고, 그 다음 세일가에 $20\%$ 쿠폰을 적용합니다. 마지막에 최종 가격을 $P$ 와 비교하면 총 할인율이 나옵니다.

실행 — 정답: D

#5 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

원가를 $P$ 라고 둡니다.
변수를 쓰면 구체적인 금액 없이도 각 단계에서 가격이 "$P$ 의 몇 분의 몇" 인지 따라갈 수 있습니다.

$$\text{원가} = P$$

💡 이름을 모르는 원가에 문자를 붙이는 것이 도구 #5 의 핵심이고, 6학년 "문자를 수 대신 쓰는 식" 표준 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 2

$50\%$ 세일을 적용합니다.
"반값" 은 세일가가 원가의 $100\% - 50\% = 50\%$ 라는 뜻이므로, $P$ 에 $0.5$ 를 곱합니다.

$$\text{세일가} = P \times (1 - 0.50) = 0.5P$$

💡 $50\%$ 할인을 $0.5$ 곱으로 처리하는 것은 6학년 "수량의 퍼센트 구하기" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 3

세일가에 $20\%$ 쿠폰을 적용합니다.
쿠폰은 $0.5P$ 에서 $20\%$ 를 깎으므로, 최종 가격은 $0.5P$ 의 $100\% - 20\% = 80\%$ — 즉 $0.80$ 을 곱한 값입니다.

$$\text{최종 가격} = 0.5P \times (1 - 0.20) = 0.5P \times 0.8 = 0.4P$$

💡 이미 할인된 가격에 두 번째 퍼센트 할인을 한 번 더 쌓는 것은 7학년 다단계 퍼센트 변화 문제입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.RP.A.3 단계 4

최종 가격과 원가를 비교합니다.
최종 가격은 $0.4P$ 로 원가의 $40\%$, 즉 손님은 원가의 $40\%$ 를 지불하고 나머지 $60\%$ 를 아낀 셈입니다.

$$\text{할인율} = 100\% - 40\% = 60\% \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 "지불한 퍼센트" 를 $100\%$ 에서 빼서 "할인된 퍼센트" 를 구하는 마무리는 7학년 퍼센트 변화의 표준 마침표입니다.

[1] #5 6.EE.A.2 원가를 $P$ 라고 둡니다. 변수를 쓰면 구체적인 금액 없이도 각 단계에서 가격이 "$P$ 의 몇 분의 몇" 인지 따라갈 수 있습니다.

[2] #7 6.RP.A.3 $50\%$ 세일을 적용합니다. "반값" 은 세일가가 원가의 $100\% - 50\% = 50\%$ 라는 뜻이므로, $P$ 에 $0.5$ 를 곱

[3] #7 7.RP.A.3 세일가에 $20\%$ 쿠폰을 적용합니다. 쿠폰은 $0.5P$ 에서 $20\%$ 를 깎으므로, 최종 가격은 $0.5P$ 의 $100\% - 20\

[4] #7 7.RP.A.3 최종 가격과 원가를 비교합니다. 최종 가격은 $0.4P$ 로 원가의 $40\%$, 즉 손님은 원가의 $40\%$ 를 지불하고 나머지 $60\%$

검토

합리성 확인: 구체적인 수로 확인해 봅시다. $P = 100$ 달러라고 하면, 반값 세일로 $50$ 달러가 되고, $50$ 달러에 $20\%$ 쿠폰을 쓰면 $10$ 달러가 더 깎여 $40$ 달러를 냅니다. $100$ 달러 중 $40$ 달러를 냈으니 $60$ 달러 — 즉 $60\%$ 를 아낀 셈으로 답 (D) 와 일치합니다. $50\% + 20\% = 70\%$ 로 더해 (E) 를 고르는 게 흔한 함정인데, $20\%$ 는 이미 반으로 깎인 가격에만 적용되므로 실제 총 할인은 $70\%$ 보다 작습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 깔끔한 수를 잡아 봅시다. $P = 10$ 달러로 두면 세일가 $= 5$ 달러, 쿠폰으로 $1$ 달러 깎여 최종 $4$ 달러. $10$ 달러 중 $6$ 달러를 아꼈으니 $60\%$ 할인 — (D) 와 일치합니다. 동시에 (E) $70\%$ (더하기 함정) 와 (C) $40\%$ ("지불한 비율" 을 "할인된 비율" 로 착각한 함정) 가 모두 걸러집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식 쓰기, 읽기, 계산하기 (주어지지 않은 원가를 변수 $P$ 로 도입하여 각 단계의 가격을 $P$ 에 대한 식으로 표현.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (첫 번째 $50\%$ 할인을 $0.5$ 곱으로 적용하여 세일가 $0.5P$ 를 구하는 데 사용.)
7.RP.A.3 비례 관계를 이용해 다단계 비·퍼센트 문제 해결 (세일가에 $20\%$ 쿠폰을 추가로 적용한 뒤 최종 가격 $0.4P$ 를 원가 대비 총 $60\%$ 할인으로 환산.)

⭐ 할인을 여러 번 받을 때는 더하는 게 아니라 곱하는 거예요 — 원가를 $P$ 로 두기만 하면 이 AMC 8 문제는 7학년 퍼센트 추론으로 풀려요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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