AMC 8 · 2013 · #4

학년 5 arithmeticalgebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

linear-equations-one-varfraction-arithmeticmental-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

친구 $8$ 명이 식당에서 식사를 하고, 전체 식사비를 똑같이 나눠 내기로 했습니다. 그런데 주디(Judi)가 돈을 가져오는 것을 잊어버려서, 나머지 친구 $7$ 명이 각자 $\$2.50$ 씩 더 내어 주디의 몫을 대신 채워 주었습니다. 전체 식사비는 얼마였을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\text{\textdollar}120$

(B)

$\text{\textdollar}128$

(C)

$\text{\textdollar}140$

(D)

$\text{\textdollar}144$

(E)

$\text{\textdollar}160$

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 친구 $8$ 명이 식당에서 식사하고 비용을 $8$ 등분해서 나누기로 했어요. 그런데 주디(Judi)가 돈을 두고 와서, 나머지 $7$ 명이 자기 몫 위에 $\$2.50$ 씩 더 내서 주디 몫을 대신 채워 줬어요. 전체 식사 비용은 얼마였을까요?

주어진 것: 친구는 모두 $8$ 명이고, 비용은 $8$ 등분 됨; 주디는 한 푼도 못 냈고, 나머지 $7$ 명이 주디 몫을 메움; 그 $7$ 명은 각자 자기 몫 위에 $\$2.50$ 을 추가로 냄; 선택지: (A) $\$120$, (B) $\$128$, (C) $\$140$, (D) $\$144$, (E) $\$160$

구하는 것: 전체 식사 비용(달러)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

전체 비용은 두 단계 뒤에 숨어 있어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 깔끔하게 분리할 수 있어요. 소문제 A — $7$ 명이 낸 추가금 $\$2.50$ 들이 합쳐져 주디 한 명의 몫이 되니까 한 사람의 몫을 먼저 구합니다. 소문제 B — 한 사람의 몫을 알면 전체 비용은 그 몫의 $8$ 배입니다. 선택지가 다섯 개뿐이라 도구 #6(추측하고 확인하기)도 좋은 검증 도구예요. 각 선택지를 $8$ 로 나눠 한 사람의 몫을 구한 뒤 그 몫이 $7 \times \$2.50 = \$17.50$ 과 맞는지 확인하면 됩니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 1

소문제 A — 주디의 몫을 구합니다.
$7$ 명이 각각 $\$2.50$ 씩 추가로 냈고, 그 추가금의 총합이 정확히 주디 한 명의 몫이 돼야 해요. 따라서 주디의 몫은 $7 \times \$2.50$ 입니다.

$7 \times \$2.50 = \$17.50$

💡 $\$2.50$ 짜리 묶음 $7$ 개 — 3학년의 "같은 묶음" 곱셈 문장제 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 2

$8$ 명의 몫은 모두 같으므로, 주디의 몫이 곧 한 사람의 몫과 같습니다.
즉 한 사람의 몫은 $\$17.50$ 이에요.

$\text{한 사람의 몫} = \$17.50$

💡 "몫이 같다"는 조건 덕분에 주디 몫을 그대로 한 사람 몫으로 쓸 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.7 단계 3

소문제 B — 전체 비용으로 키웁니다.
전체 비용은 같은 몫 $8$ 개이므로 한 사람의 몫에 $8$ 을 곱하면 돼요.

$8 \times \$17.50 = 8 \times 17 + 8 \times 0.5 = 136 + 4 = \$140$

💡 $17.50$ 을 $17 + 0.5$ 로 쪼개면 소수 곱셈이 깔끔해져요 — 5학년 소수 계산.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.7 단계 4

$\$140$ 을 선택지에서 찾습니다.

$\$140 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$

💡 계산 결과가 선택지 (C) 와 일치합니다.

[1] #7 3.OA.A.3 소문제 A — 주디의 몫을 구합니다. $7$ 명이 각각 $\$2.50$ 씩 추가로 냈고, 그 추가금의 총합이 정확히 주디 한 명의 몫이 돼야 해

[2] #7 3.OA.A.3 $8$ 명의 몫은 모두 같으므로, 주디의 몫이 곧 한 사람의 몫과 같습니다. 즉 한 사람의 몫은 $\$17.50$ 이에요.

[3] #7 5.NBT.B.7 소문제 B — 전체 비용으로 키웁니다. 전체 비용은 같은 몫 $8$ 개이므로 한 사람의 몫에 $8$ 을 곱하면 돼요.

[4] #7 5.NBT.B.7 $\$140$ 을 선택지에서 찾습니다.

검토

합리성 확인: 추가금으로 거꾸로 확인해 봅시다. $\$140$ 을 $8$ 등분하면 한 사람의 몫은 $\$140 \div 8 = \$17.50$. 이 $\$17.50$ 을 $7$ 명이 나눠 메우면 한 사람당 $\$17.50 \div 7 = \$2.50$ — 문제 조건과 정확히 같아요. 숫자가 깔끔하게 맞물리고, $8$ 명이 식당에서 $\$140$(한 사람당 $\$17.50$)을 쓰는 것도 자연스러운 금액입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅시다. 각 선택지를 $8$ 로 나눠 한 사람의 몫을 구한 뒤, 그 몫을 $7$ 로 나눈 값(친구 한 명이 추가로 내야 할 금액)이 $\$2.50$ 과 같은지 확인하면 됩니다. (A) $\$120 / 8 = \$15$, 추가금 $\$15 / 7 \approx \$2.14$. (B) $\$128 / 8 = \$16$, 추가금 $\approx \$2.29$. (C) $\$140 / 8 = \$17.50$, 추가금 $= \$2.50$ ✓. (D) $\$144 / 8 = \$18$, 추가금 $\approx \$2.57$. (E) $\$160 / 8 = \$20$, 추가금 $\approx \$2.86$. 오직 (C) 만 들어맞습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

3.OA.A.3 같은 묶음을 이용한 100 이내 곱셈·나눗셈 문장제 해결 (주디의 몫을 $\$2.50$ 짜리 묶음 $7$ 개의 합 $7 \times \$2.50 = \$17.50$ 로 계산하고, 8명의 몫이 모두 같다는 점을 활용.)
5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (전체 비용 $8 \times \$17.50 = \$140$ 의 소수 곱셈(과 대안 풀이에서 각 선택지를 $8$ 로 나누는 계산)에 사용.)

⭐ $7$ 명이 낸 추가금이 합쳐져서 주디 한 명의 몫이 된다는 걸 알아채면, 그 다음은 5학년 소수 곱셈일 뿐이에요 — $\$17.50$ 짜리 $8$ 몫이면 총 $\$140$ 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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