AMC 8 · 2014 · #18

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어제 시립 병원에서 네 명의 아이가 태어났습니다. 각 아이가 남자일 확률과 여자일 확률이 같다고 할 때, 다음 중 일어날 가능성이 가장 큰 경우는 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

All are boys

(B)

All are girls

(C)

2 are boys and 2 are girls

(D)

3 are the same gender and 1 is not

(E)

They all have the same probability

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 어느 병원에서 아기 $4$ 명이 태어났고, 각 아기는 남아일 확률과 여아일 확률이 같다고 가정합니다. 보기로 주어진 성별 구성 — 전부 남아, 전부 여아, 남아 $2$ 명과 여아 $2$ 명, $3$ 명이 같은 성별이고 $1$ 명이 다른 성별 — 중에서 가장 가능성이 높은 경우는 어느 것일까요?

주어진 것: 아기 $4$ 명, 각각 독립적인 출생; $P(\text{남아}) = P(\text{여아}) = \tfrac{1}{2}$; 선택지: (A) 전부 남아, (B) 전부 여아, (C) 남아 $2$ · 여아 $2$, (D) $3$ 명 같은 성별 $+$ $1$ 명 다른 성별, (E) 모두 확률이 같음

구하는 것: (A)-(E) 중 확률이 가장 높은 경우

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #3 가능성 지우기

아기가 $4$ 명뿐이므로 순서 있는 결과의 수는 $2^4 = 16$ 가지로 모두 적어 볼 수 있습니다 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기). $16$ 가지를 다 적은 다음 보기별 묶음으로 갈라서 "어느 묶음이 가장 큰가?" 만 보면 됩니다. 이어서 도구 #3(가능성 지우기) 으로 보기를 정리합니다: 두 묶음의 개수가 달라지는 순간 (E)는 탈락하고, (D)의 개수가 (A) · (B) · (C) 보다 크다는 사실 하나로 답이 확정됩니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.1 단계 1

전체 경우의 수를 셉니다.
$4$ 번의 출생 각각에 $2$ 가지 가능성이 있으므로 표본 공간의 크기는 $2 \times 2 \times 2 \times 2$ 입니다.

$$2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$$

💡 각 단계의 선택지 수를 곱하는 것은 3학년 "곱셈은 묶음 세기" 그대로입니다 — $2$ 갈래 선택이 $4$ 번 반복돼서 $16$ 가지 문자열이 나옵니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

$16$ 가지 결과를 "남아 수" 기준으로 정렬하고, 같은 그룹 안에서는 자리 순서로 적습니다.
이렇게 규칙을 정해 두는 것이 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 의 핵심으로, 빠뜨림도 중복도 막아 줍니다.

남아 $0$: GGGG\\남아 $1$: BGGG, GBGG, GGBG, GGGB\\남아 $2$: BBGG, BGBG, BGGB, GBBG, GBGB, GGBB\\남아 $3$: BBBG, BBGB, BGBB, GBBB\\남아 $4$: BBBB

💡 합성 사건의 모든 결과를 체계적인 리스트로 적는 것이 7학년 "조직적 리스트로 표본 공간 만들기" 표준에 해당합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 3

리스트에서 보기별 개수를 그대로 읽어 옵니다.
(A) 전부 남아 = BBBB 한 가지.
(B) 전부 여아 = GGGG 한 가지.
(C) 남아 $2$ · 여아 $2$ = "남아 $2$" 줄의 $6$ 가지.
(D) $3$ 명이 같은 성별 $+$ $1$ 명 다른 성별 = "남아 $1$" 줄($4$ 가지) $+$ "남아 $3$" 줄($4$ 가지) $= 8$ 가지.

(A) $1/16$, \quad (B) $1/16$, \quad (C) $6/16$, \quad (D) $8/16$

💡 $16$ 가지가 모두 동일한 확률이므로 각 보기의 확률은 (해당 결과 수) $/$ $16$ 이 되며, 이것이 7학년 "동등확률 모델로 확률 구하기" 입니다.

#3 가능성 지우기 7.SP.C.8 단계 4

이제 보기를 정리합니다.
(A) 와 (C) 의 확률이 이미 $1/16$ 과 $6/16$ 로 다르므로 (E) ("모두 확률이 같음") 는 곧바로 탈락합니다.
(A)-(D) 중에서는 $8/16$ 이 가장 크므로 정답은 (D) 입니다.

$$\tfrac{8}{16} > \tfrac{6}{16} > \tfrac{1}{16} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 한 보기의 개수가 나머지 모든 보기의 개수를 넘는 순간 객관식이 끝난다는 것이 도구 #3(가능성 지우기) 의 마무리 동작입니다.

[1] #2 3.OA.A.1 전체 경우의 수를 셉니다. $4$ 번의 출생 각각에 $2$ 가지 가능성이 있으므로 표본 공간의 크기는 $2 \times 2 \times 2 \t

[2] #2 7.SP.C.8 $16$ 가지 결과를 "남아 수" 기준으로 정렬하고, 같은 그룹 안에서는 자리 순서로 적습니다. 이렇게 규칙을 정해 두는 것이 도구 #2(빠짐없

[3] #2 7.SP.C.7 리스트에서 보기별 개수를 그대로 읽어 옵니다. (A) 전부 남아 = BBBB 한 가지. (B) 전부 여아 = GGGG 한 가지. (C) 남아 $

[4] #3 7.SP.C.8 이제 보기를 정리합니다. (A) 와 (C) 의 확률이 이미 $1/16$ 과 $6/16$ 로 다르므로 (E) ("모두 확률이 같음") 는 곧바로

검토

합리성 확인: 네 가지 확률을 모두 더하면 $\tfrac{1}{16} + \tfrac{1}{16} + \tfrac{6}{16} + \tfrac{8}{16} = \tfrac{16}{16} = 1$ 이 되어, $16$ 가지 결과가 네 묶음으로 빠짐없이 갈라졌음을 확인할 수 있습니다. 직관적으로도 "전부 남아" 나 "전부 여아" 처럼 극단적인 경우는 특정 한 줄만 해당하니 드물고, $3$-$1$ 구성은 "누가 혼자 다른 성별인가" 자리가 $4$ 군데 $\times$ 다수 성별 $2$ 가지 $= 8$ 가지나 되니 가장 흔한 것이 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 아기 $2$ 명 사례를 먼저 봅시다: BB, BG, GB, GG 중 "성별이 다른" 경우가 $2$ 가지로 "성별이 같은" 경우 $2$ 가지와 동률입니다. 이를 $4$ 명으로 확장하면 $3$-$1$ 쪽이 $\binom{4}{1} + \binom{4}{3} = 4 + 4 = 8$, $2$-$2$ 쪽이 $\binom{4}{2} = 6$ 으로 $3$-$1$ 이 앞서서 같은 답 (D) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

3.OA.A.1 정수의 곱을 해석하기 (각 독립 출생의 선택지 수를 곱해 표본 공간 크기 $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ 을 계산하는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모델을 만들어 사건의 확률 구하기 ($16$ 가지 결과를 동등확률로 다뤄, 각 보기의 확률을 (해당 결과 수) $/$ $16$ 로 계산하는 데 사용.)
7.SP.C.8 조직적 리스트 · 표 · 나무 그림으로 합성 사건의 확률 구하기 (아기 $4$ 명의 성별 문자열 $16$ 가지를 체계적으로 나열하고, 보기별로 몇 가지가 속하는지 세는 데 사용.)

⭐ 결과가 $16$ 가지뿐이라 직접 다 적어볼 수 있고, 가장 많이 나오는 묶음은 자리 수가 $8$ 가지인 $3$-$1$ 구성입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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