AMC 8 · 2014 · #7

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

ratio-proportionlinear-equations-one-varsystems-of-equations convert-to-algebraratio-proportion ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varratio-proportion

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문제

라우브(Raub) 선생님 반 학생은 모두 $28$ 명이고, 여학생이 남학생보다 $4$ 명 더 많습니다. 이 반의 여학생 수와 남학생 수의 비는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3 : 4

(B)

4 : 3

(C)

3 : 2

(D)

7 : 4

(E)

2 : 1

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 라우브 선생님 반 학생은 모두 $28$ 명이고, 여학생이 남학생보다 정확히 $4$ 명 더 많습니다. 여학생 수와 남학생 수의 비를 가장 간단한 형태로 나타내세요.

주어진 것: 전체 학생 수 $= 28$; 여학생 수 $=$ 남학생 수 $+ 4$; 선택지: (A) $3:4$, (B) $4:3$, (C) $3:2$, (D) $7:4$, (E) $2:1$

구하는 것: (여학생 $:$ 남학생) 의 비를 가장 간단하게 나타낸 값

이해

주어진 것: 전체 학생 수 $= 28$; 여학생 수 $=$ 남학생 수 $+ 4$; 선택지: (A) $3:4$, (B) $4:3$, (C) $3:2$, (D) $7:4$, (E) $2:1$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

이 반은 "원래 같은 수" 였던 분포 위에 여학생 $4$ 명이 더 얹혀 있는 구조입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 그 "더 얹힌 $4$ 명" 을 먼저 떼어 내면, 남은 $28 - 4 = 24$ 명이 남녀로 똑같이 나뉘어 각각 $12$ 명이 됩니다. 떼어 두었던 $4$ 명을 여학생 쪽에 다시 더하면 인원수가 한 번에 깔끔하게 정해집니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 선택지 비율을 거꾸로 대입해 "합 $28$, 차 $4$" 를 만족하는 것이 $16:12$ 뿐이라는 점을 검산하는 데 씁니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 로도 풀리지만, 합과 차가 주어진 두 수에서는 "여분을 먼저 떼어 내는" 방식이 더 빠르고 직관적입니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 1

여학생 중 "더 많은 $4$ 명" 을 먼저 떼어 둡니다.
그러면 남녀가 똑같은 수로 맞춰지고, 남는 학생은 $28 - 4 = 24$ 명입니다.

$$28 - 4 = 24$$

💡 "여분" 을 먼저 빼서 불공평한 상황을 공평한 상황으로 바꾸는 것이 작은 문제로 쪼개기의 전형적인 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.2 단계 2

$24$ 명을 남녀로 똑같이 나눕니다.
$24$ 의 절반은 $12$ 이므로 남학생은 $12$ 명입니다(이때 여학생도 잠시 $12$ 명이라고 생각합니다).

$$24 \div 2 = 12 \text{ 명(남학생)}$$

💡 전체를 두 개의 똑같은 묶음으로 나누는 것은 3학년 "분배 나눗셈" 의 기본 의미입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 3

떼어 두었던 $4$ 명을 여학생 쪽에 다시 더해서 실제 여학생 수를 구합니다.

$$12 + 4 = 16 \text{ 명(여학생)}$$

💡 남녀를 같게 만들기 위해 떼어 둔 학생은 모두 여학생이었으므로, 다시 더할 때도 여학생 쪽에만 들어갑니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.1 단계 4

여학생 $:$ 남학생 의 비를 쓰고, 두 수의 최대공약수 $\gcd(16, 12) = 4$ 로 나누어 가장 간단한 비로 만듭니다.

$$\text{여학생} : \text{남학생} = 16 : 12 = \dfrac{16}{4} : \dfrac{12}{4} = 4 : 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 비를 가장 간단히 한다는 것은 분수의 약분과 똑같이, 두 수를 그 최대공약수로 나누는 것입니다.

[1] #7 2.OA.A.1 여학생 중 "더 많은 $4$ 명" 을 먼저 떼어 둡니다. 그러면 남녀가 똑같은 수로 맞춰지고, 남는 학생은 $28 - 4 = 24$ 명입니다.

[2] #7 3.OA.A.2 $24$ 명을 남녀로 똑같이 나눕니다. $24$ 의 절반은 $12$ 이므로 남학생은 $12$ 명입니다(이때 여학생도 잠시 $12$ 명이라고 생각

[3] #7 2.OA.A.1 떼어 두었던 $4$ 명을 여학생 쪽에 다시 더해서 실제 여학생 수를 구합니다.

[4] #7 6.RP.A.1 여학생 $:$ 남학생 의 비를 쓰고, 두 수의 최대공약수 $\gcd(16, 12) = 4$ 로 나누어 가장 간단한 비로 만듭니다.

검토

합리성 확인: 여학생 $16$ 명, 남학생 $12$ 명으로 두 조건을 모두 확인합니다. 합: $16 + 12 = 28$ ✓. 차: $16 - 12 = 4$ ✓. 비 $16:12 = 4:3$ 은 "여학생이 조금 더 많다" 는 상황과도 잘 맞습니다 — $2:1$ 처럼 여학생이 전체의 $\tfrac{2}{3}$ (약 $19$ 명)이 될 정도로 한쪽으로 치우치지도 않고, $1:1$ 보다는 분명히 더 많습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 대입해 봅시다. 각 비 $g:b$ 에 대해 $g + b = 28$ 이 되는 인원수를 구합니다. (A) $3:4$ 는 여학생이 더 적다는 뜻이라 방향이 틀립니다. (B) $4:3$ 은 $16:12$ 로 늘리면 합 $28$, 차 $4$ 가 모두 맞습니다 ✓. (C) $3:2$ 는 $\tfrac{3}{5}(28) : \tfrac{2}{5}(28)$ 이 되어 정수로 떨어지지 않습니다. (D) $7:4$ 도 $11$ 등분된 $28$ 이라 정수가 아닙니다. (E) $2:1$ 은 여학생이 $\tfrac{56}{3}$ 명이라 역시 정수가 아닙니다. 살아남는 답은 (B) 뿐.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

2.OA.A.1 $100$ 이내의 덧셈·뺄셈을 이용한 문장제 해결 (여분 $4$ 명을 떼어 낼 때 $28 - 4 = 24$, 다시 더할 때 $12 + 4 = 16$ 의 덧셈·뺄셈을 수행.)
3.OA.A.2 자연수의 몫을 같은 수씩 묶어 나누는 의미로 이해하기 (남은 $24$ 명을 남녀 두 묶음으로 똑같이 나누어 $24 \div 2 = 12$ 를 계산.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 관계를 비의 언어로 설명하기 (여학생 $:$ 남학생 $= 16:12$ 라는 비를 만들고 가장 간단한 비 $4:3$ 으로 약분.)

⭐ 여학생 $4$ 명을 먼저 따로 떼어 두면 나머지 반은 정확히 절반씩 나뉘고 — 마지막에 필요한 "비" 개념도 6학년 수준이면 충분해요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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