AMC 8 · 2015 · #16

학년 6 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

ratio-proportionfraction-arithmeticlinear-equations-two-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어느 중학교 멘토링 프로그램에서 $6$ 학년 학생 중 일부가 $9$ 학년 학생 한 명과 짝(buddy)을 이룹니다. $9$ 학년 학생은 한 명도 $6$ 학년 짝을 두 명 이상 맡지 않습니다. 전체 $9$ 학년 학생의 $\frac{1}{3}$ 이 전체 $6$ 학년 학생의 $\frac{2}{5}$ 와 짝을 이루었다면, $6$ 학년과 $9$ 학년을 합한 전체 학생 중 짝이 있는 학생의 비율은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{2}{15}$

(B)

$frac{4}{11}$

(C)

$frac{11}{30}$

(D)

$frac{3}{8}$

(E)

$frac{11}{15}$

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 버디 프로그램에서 9학년의 $\tfrac{1}{3}$ 이 6학년의 $\tfrac{2}{5}$ 와 1대1로 짝을 이룹니다. 6학년과 9학년 학생 전체 중 짝이 있는 학생의 비율은 얼마일까요?

주어진 것: 한 쌍은 9학년 1명과 6학년 1명으로 이루어진 1대1 짝짓기; 9학년의 $\tfrac{1}{3}$ 이 짝을 가짐; 6학년의 $\tfrac{2}{5}$ 가 짝을 가짐; 선택지: (A) $\tfrac{2}{15}$, (B) $\tfrac{4}{11}$, (C) $\tfrac{11}{30}$, (D) $\tfrac{3}{8}$, (E) $\tfrac{11}{15}$

구하는 것: $\dfrac{\text{짝이 있는 학생 수}}{\text{6학년 + 9학년 전체 수}}$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #3 가능성 지우기

문제에서 9학년·6학년의 실제 인원을 알려 주지 않는다는 건 답이 인원에 상관없이 같다는 강한 힌트입니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 $\tfrac{1}{3}$ 과 $\tfrac{2}{5}$ 가 정수 명이 되도록 만드는 가장 작은 인원을 직접 골라서 세어 보면 됩니다. 비율이 나오면 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지와 맞춰 확인합니다. 변수 세우고 분수끼리 나눌 필요가 없어요.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NF.B.4 단계 1

가장 작은 자연수 인원을 골라 봅니다.
$\tfrac{1}{3}$ 이 정수 명이 되려면 9학년 수가 $3$ 의 배수여야 하고, $\tfrac{2}{5}$ 가 정수 명이 되려면 6학년 수가 $5$ 의 배수여야 합니다.
일단 9학년 $= 3$, 6학년 $= 5$ 로 시도.

$$\tfrac{1}{3} \times 3 = 1 \text{ 명(9학년 짝)}, \quad \tfrac{2}{5} \times 5 = 2 \text{ 명(6학년 짝)}$$

💡 분수 $\times$ 자연수는 5학년 분수 연산이고, 손가락으로 셀 만큼 작게 잡습니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NF.B.4 단계 2

1대1 조건을 확인합니다.
9학년 $3$ 명·6학년 $5$ 명이면 짝이 있는 9학년은 $1$ 명, 짝이 있는 6학년은 $2$ 명이라 짝 수가 맞지 않습니다.
인원을 키워서 두 쪽의 짝 수를 같게 만들어야 합니다.

$1 \ne 2$ 이므로 짝짓기 실패.

💡 그림이 문제와 맞지 않으면 문제가 아니라 숫자를 바꿉니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.NS.B.4 단계 3

9학년 인원을 두 배로 늘려 양쪽 짝 수를 맞춥니다.
9학년 $6$ 명이면 $\tfrac{1}{3} \times 6 = 2$.
6학년 쪽 $\tfrac{2}{5}$ 도 $2$ 가 되려면 6학년 $= 5$ 명.
이제 9학년 $2$ 명과 6학년 $2$ 명이 짝을 이뤄 총 $2$ 쌍이 만들어집니다.

$$\tfrac{1}{3} \times 6 = 2, \quad \tfrac{2}{5} \times 5 = 2$$

💡 양쪽 짝 수($1$ 과 $2$)의 최소공배수 $2$ 명에 맞춘 것 — 6학년 수 감각입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.A.3 단계 4

짝이 있는 학생 수와 전체 학생 수를 셉니다.
짝이 있는 학생 $= 9$ 학년 $2$ 명 $+ \, 6$ 학년 $2$ 명 $= 4$ 명.
전체 $= 9$ 학년 $6$ 명 $+ \, 6$ 학년 $5$ 명 $= 11$ 명.

$$\text{짝 있는 학생} = 2 + 2 = 4, \quad \text{전체} = 6 + 5 = 11$$

💡 양쪽을 더하는 4학년 다단계 문장제 그대로입니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 5

구하는 비율을 만들어 선택지와 맞춰 봅니다 (도구 #3, 후보 지우기).

$$\dfrac{\text{짝 있는 학생}}{\text{전체}} = \dfrac{4}{11} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 부분 대 전체 비교는 비(ratio) — 6학년 비율 추론입니다.

[1] #9 5.NF.B.4 가장 작은 자연수 인원을 골라 봅니다. $\tfrac{1}{3}$ 이 정수 명이 되려면 9학년 수가 $3$ 의 배수여야 하고, $\tfrac{2

[2] #9 5.NF.B.4 1대1 조건을 확인합니다. 9학년 $3$ 명·6학년 $5$ 명이면 짝이 있는 9학년은 $1$ 명, 짝이 있는 6학년은 $2$ 명이라 짝 수가 맞

[3] #9 6.NS.B.4 9학년 인원을 두 배로 늘려 양쪽 짝 수를 맞춥니다. 9학년 $6$ 명이면 $\tfrac{1}{3} \times 6 = 2$. 6학년 쪽 $\t

[4] #9 4.OA.A.3 짝이 있는 학생 수와 전체 학생 수를 셉니다. 짝이 있는 학생 $= 9$ 학년 $2$ 명 $+ \, 6$ 학년 $2$ 명 $= 4$ 명. 전체

[5] #3 6.RP.A.3 구하는 비율을 만들어 선택지와 맞춰 봅니다 (도구 #3, 후보 지우기).

검토

합리성 확인: 답이 정말 인원에 영향을 받지 않는지 더 큰 수로 확인합니다. 9학년 $12$ 명·6학년 $10$ 명이면 $\tfrac{1}{3} \times 12 = 4$, $\tfrac{2}{5} \times 10 = 4$ 로 $4$ 쌍. 짝 있는 학생 $= 4 + 4 = 8$, 전체 $= 12 + 10 = 22$, 비율 $= \tfrac{8}{22} = \tfrac{4}{11}$ — 같은 값이 나옵니다. 문제에서 인원을 알려 주지 않은 이유와 정확히 일치합니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)도 가능합니다. 9학년 $N$ 명, 6학년 $S$ 명에 대해 $\tfrac{1}{3}N = \tfrac{2}{5}S$ 의 공통값을 $P$ 라 하면 $N = 3P$, $S = \tfrac{5}{2}P$ 이므로 비율은 $\dfrac{2P}{3P + \tfrac{5}{2}P} = \dfrac{2P}{\tfrac{11}{2}P} = \dfrac{4}{11}$. 답은 같지만 분수 안의 분수 계산이 필요해서, 작은 수 고르기로 우회한 것이 더 깔끔합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (짝 있는 9학년과 6학년 수를 더해 $2 + 2 = 4$, 전체 9학년과 6학년 수를 더해 $6 + 5 = 11$ 을 계산.)
5.NF.B.4 분수 $\times$ 자연수 또는 분수 $\times$ 분수 계산 ($\tfrac{1}{3} \times 6 = 2$ 와 $\tfrac{2}{5} \times 5 = 2$ 로 각 학년의 짝 수를 구함.)
6.NS.B.4 자연수의 공배수와 최소공배수 구하기 (두 쪽 짝 수를 일치시키는 가장 작은 학년 인원(9학년 $6$ 명, 6학년 $5$ 명)을 고를 때 최소공배수 추론을 사용.)
6.RP.A.3 비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (전체 학생 중 짝이 있는 학생의 부분-전체 비 $\tfrac{4}{11}$ 을 최종 답으로 표현.)

⭐ 문제에서 인원을 숨기면, 조건을 만족하는 가장 작은 수를 직접 골라 세어 보세요. 6학년 분수와 비율 감각만으로 AMC 8 한 문제를 깰 수 있어요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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